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高考中档大题规范练(四)
——概率与统计
(推举时间：70分钟)
1．(2022·湖南)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b)．
其中a，分别表示甲组研发成功和失败；b，分别表示乙组研发成功和失败．
(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成果的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业支配甲、乙两组各自研发一种新产品，试估量恰有一组研发成功的概率．
解 (1)甲组研发新产品的成果为
1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，
其平均数为甲＝＝；
方差为s＝＝.
乙组研发新产品的成果为
1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，
其平均数为乙＝＝；
方差为s＝＝.
由于甲>乙，s<s，
所以甲组的研发水平优于乙组．
(2)记大事E＝{恰有一组研发成功}．
在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，)，(，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(a，)，(，b)共7个．
故大事E发生的频率为.
将频率视为概率，
则得所求概率为P(E)＝.
即恰有一组研发成功的概率为.
2．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子毁灭的点数，y表示第2枚骰子毁灭的点数．
(1)求点P(x，y)在直线y＝x－2上的概率；
(2)求点P(x，y)满足y2<2x的概率．
解 每枚骰子毁灭的点数都有6种状况，
所以基本大事总数为6×6＝36(个)．
(1)记“点P(x，y)在直线y＝x－2上”为大事A，
则大事A有4个基本大事：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)，
所以P(A)＝＝.
(2)记“点P(x，y)满足y2<2x”为大事B，
则大事B有12个基本大事：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，
所以P(B)＝＝.
3．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．
(1)求取得的两个球颜色相同的概率；
(2)求取得的两个球颜色不相同的概率．
解 从六个球中取出两个球的基本大事有
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共计15个基本大事．
(1)记大事A为“取出的两个球是白球”，则这个大事包含的基本大事的是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个基本大事，故P(A)＝＝.
记大事B为“取出的两个球是黑球”，同理可得P(B)＝.
记大事C为“取出的两个球的颜色相同”，则C＝A＋B，且A，B互斥，依据互斥大事的概率加法公式，得P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.
(2)记大事D为“取出的两个球的颜色不相同”，则大事C，D互斥，依据互斥大事概率之间的关系，得P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
4．(2022·辽宁)某高校餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一班级同学中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
宠爱甜品
不宠爱甜品
合计
南方同学
60
20
80
北方同学
10
10
20
合计
70
30
100
(1)依据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方同学和北方同学在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
(2)已知在被调查的北方同学中有5名数学系的同学，其中2名宠爱甜品，现在从这5名同学中随机抽取3人，求至多有1人宠爱甜品的概率．
附：
P(2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
解 (1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
2＝＝
＝≈4.762.
由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方同学和北方同学在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
(2)从5名数学系同学中任取3人的一切可能结果所组成的基本大事空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．
其中ai表示宠爱甜品的同学，i＝1,2；bj表示不宠爱甜品的同学，j＝1,2,3.Ω由10个基本大事组成，且这些基本大事的毁灭是等可能的．
用A表示“3人中至多有1人宠爱甜品”这一大事，则大事A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．
大事A是由7个基本大事组成，因而P(A)＝.
5．某商场为吸引顾客消费，推出一项优待活动．活动规章如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O为圆心，且标有20元，10元，0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优待券．例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，其次次获得了10元，则其共获得了30元优待券．顾客甲和乙都到商场进行了消费，并依据规章参与了活动．
(1)若顾客甲消费了128元，求他获得的优待券金额大于0元的概率；
(2)若顾客乙消费了280元，求他总共获得的优待券金额不低于20元的概率．
解 (1)设“甲获得的优待券金额大于0元”为大事A.
由于指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分区域的面积相等，
所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是.
依据互斥大事的概率，有P(A)＝＋＝，
所以“顾客甲获得的优待券金额大于0元”的概率是.
(2)设“乙获得的优待券金额不低于20元”为大事B.
由于顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优待券的金额为x元，其次次获得优待券的金额为y元，则基本大事空间可以表示为Ω＝{(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)}，即Ω中含有9个基本大事，
每个基本大事发生的概率都为.
而乙获得的优待券金额不低于20元，是指x＋y≥20，
所以大事B中包含的基本大事有6个．
所以乙获得的优待券金额不低于20元的概率为
P(B)＝＝.
6．已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R.
(1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率．
解 设大事A为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有两个不相等的实数根”；大事B为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有实数根”．
(1)由题意，知基本大事共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，其次个数表示b的取值．
由Δ＝36a2－36(－b2＋4)＝36a2＋36b2－36×4>0，
得a2＋b2>4.
大事A要求a，b满足条件a2＋b2>4，可知包含6个基本大事，即(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，则大事A发生的概率为P(A)＝＝.
(2)a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3,0≤b≤2.
构成大事B的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a2＋b2≥4}(如图中阴影部分)，
则所求的概率为P(B)＝＝1－.
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