2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第6篇-第4讲-基本不等式.docx

第4讲基本不等式最新考纲1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题. 知 识 梳 理1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数2几个重要的不等式(1)重要不等式：a2b22ab(a，bR)当且仅当ab时取等号(2)ab2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号3利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)假如积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)假如和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)辨 析 感 悟1对基本不等式的生疏(1)当a0，b0时，.()(2)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()2对几个重要不等式的生疏(3)(ab)24ab(a，bR)()(4).()(5)a2b2c2abbcca(a，b，cR)()3利用基本不等式确定最值(6)函数ysin x，x的最小值为4.()(7)(2022福州模拟改编)若x3，则x的最小值为1.()(8)(2021四川卷改编)已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a36.()感悟提升两个防范一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽视了某个条件，就会消灭错误对于公式ab2，ab2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和ab的转化关系如(2)、(4)、(6)二是在利用不等式求最值时，肯定要尽量避开多次使用基本不等式若必需多次使用，则肯定要保证它们等号成立的条件全都.同学用书第103页考点一利用基本不等式证明简洁不等式【例1】 已知x0，y0，z0.求证：8.证明x0，y0，z0，0，0，0，8.当且仅当xyz时等号成立规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种状况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件动身，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的规律推理最终转化为需证问题【训练1】 已知a0，b0，c0，且abc1.求证：9.证明a0，b0，c0，且abc1，3332229，当且仅当abc时，取等号考点二利用基本不等式求最值【例2】 (1)(2021山东卷)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0 B1 C. D3(2)(2022广州一模)已知1，(x0，y0)，则xy的最小值为()A1 B2 C4 D8审题路线(1)x23xy4y2z0变形得zx23xy4y2代入变形后利用基本不等式取等号的条件把转化关于的一元二次函数利用配方法求最大值解析(1)由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2，.又x，y，z为正实数，4，当且仅当x2y时取等号，此时z2y2.221，当1，即y1时，上式有最大值1.(2)x0，y0，xy(xy)42448.当且仅当，即xy4时取等号答案(1)B(2)D规律方法 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即依据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件机敏变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值【训练2】 (1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A. B. C5 D6(2)(2022浙江十校联考)若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C2 D.解析(1)由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)5(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.(2)由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.答案(1)C(2)C考点三基本不等式的实际应用【例3】 (2022济宁期末)小王高校毕业后，打算利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流淌成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)x2x(万元)在年产量不小于8万件时，W(x)6x38(万元)每件产品售价为5元通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流淌成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)由于每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0x8时，L(x)5x3x24x3；当x8时，L(x)5x335.所以L(x)(2)当0x8时，L(x)(x6)29.此时，当x6时，L(x)取得最大值L(6)9万元，当x8时，L(x)35352352015，此时，当且仅当x时，即x10时，L(x)取得最大值15万元915，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大最大利润为15万元规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先认真阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解【训练3】 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年进行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x4(k为常数)假如不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)(1)将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解(1)由题意有14，得k3，故x4.y1.5x(612x)t36xt36t27t(t0)(2)由(1)知：y27t27.5.由基本不等式2 6，当且仅当t，即t2.5时等号成立，故y27t27.527.5621.5.当且仅当t时，等号成立，即t2.5时，y有最大值21.5.所以2021年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元 1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，经常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点2连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且全都 教你审题7如何挖掘基本不等式中的“相等”【典例】 (2021天津卷)设ab2，b0，则取得最小值为_审题一审条件：ab2，b0，转化为条件求最值问题；二审问题：转化为“1”的代换；三审过程：利用基本不等式时取等号的条件解析由于ab2，所以211，当且仅当，a0，即a2，b4时取等号，故的最小值为.答案反思感悟 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决方法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值【自主体验】(2021台州一模)设x，y均为正实数，且1，则xy的最小值为()A4 B4 C9 D16解析由1可化为xy8xy，x，y均为正实数，xy8xy82(当且仅当xy时等号成立)，即xy280，解得4，即xy16，故xy的最小值为16.答案D对应同学用书P303基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2022泰安一模)若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aab2 B.C.2 Da2b22ab解析由于ab0，即0，0，所以22.答案C2(2022杭州一模)设a0，b0.若ab1，则的最小值是()A2 B. C4 D8解析由题意2224，当且仅当，即ab时，取等号，所以最小值为4.答案C3(2021金华十校模拟)已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6解析由题意知：ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44.答案B4(2022陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv解析设甲、乙两地之间的距离为s.ab，v0，va.答案A5(2022兰州模拟)已知函数yx4(x1)，当xa时，y取得最小值b，则ab()A3 B2 C3 D8解析yx4x15，由x1，得x10，0，所以由基本不等式得yx15251，当且仅当x1，即(x1)29，所以x13，即x2时取等号，所以a2，b1，ab3.答案C二、填空题6(2022广州模拟)若正实数a，b满足ab2，则(12a)(1b)的最小值为_解析(12a)(1b)52ab529.当且仅当2ab，即a1，b2时取等号答案97已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_解析x0，y0且12，xy3.当且仅当，即当x，y2时取等号答案38函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10(mn0)上，则的最小值为_解析ya1x恒过点A(1,1)，又A在直线上，mn1.而2224，当且仅当mn时，取“”，的最小值为4.答案4三、解答题9已知a0，b0，ab1，求证：8.证明2，ab1，a0，b0，2224，8.10已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1已知x0，y0，且1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是()A(，24，)B(，42，)C(2,4)D(4,2)解析x0，y0且1，x2y(x2y)442 8，当且仅当，即x4，y2时取等号，(x2y)min8，要使x2ym22m恒成立，只需(x2y)minm22m恒成立，即8m22m，解得4m0的解集为，则不等式cx22xa0的解集为_解析由ax22xc0的解集为知a0，即2x22x12k的解集为x|x2，求k的值；(2)若对任意x0，f(x)t恒成立，求实数t的范围解(1)f(x)kkx22x6k0，由已知其解集为x|x2，得x13，x22是方程kx22x6k0的两根，所以23，即k.(2)x0，f(x)，由已知f(x)t对任意x0恒成立，故实数t的取值范围是.17(2021广州诊断)某单位打算投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积Sxy，依题设，得40x245y20xy3 200，由基本不等式，得3 200220xy120 20xy12020S，则S61600，即(10)(16)0，故010，从而0S100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x90y且xy100，解得x15，即铁栅的长应设计为15米18(2022泉州调研)已知函数f(x)x33ax23x1.(1)当a时，争辩f(x)的单调性；(2)若x2，)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)当a时，f(x)x33x23x1.f(x)3x26x3.令f(x)0，得x1或1.当x(，1)时，f(x)0，f(x)在(，1)上是增函数；当x(1，1)时，f(x)0，f(x)在(1，1)上是减函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数(2)法一当x2，)时，f(x)0，3ax2x33x1，a，设g(x)，求g(x)的最大值即可，则g(x)，设h(x)x33x2，则h(x)3x23，当x2时，h(x)0，h(x)在2，)上单调递减，g(x)在2，)上单调递减，g(x)g(2)0，g(x)在(2，)上单调递减，g(x)maxg(2)，a.法二由于x2，)时，f(x)0，所以由f(2)0，得a.当a，x(2，)时，f(x)3(x22ax1)33(x2)0，所以f(x)在(2，)上是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是.同学用书第105页训练工作中的百分之一的废品，就会使国家患病严峻的损失。马卡连柯老师应当擅长组织，擅长行动，擅长运用诙谐，既要欢快适时，又要生气得当。老师应当能让自己的每一举动都能对自己起训练的作用，并且永久应当知道当时自己所期望的是什么，所不期望的是什么。假如一个老师不了解这一点，那他还能训练谁呢？马卡连柯