资源描述
第4讲 基本不等式
[最新考纲]
1．了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题.
知 识 梳 理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则
(1)假如积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)假如和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
辨 析 感 悟
1．对基本不等式的生疏
(1)当a≥0，b≥0时，≥.(√)
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(×)
2．对几个重要不等式的生疏
(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(√)
(4)＝≤≤≤.(×)
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(√)
3．利用基本不等式确定最值
(6)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(×)
(7)(2022·福州模拟改编)若x＞－3，则x＋的最小值为1.(√)
(8)(2021·四川卷改编)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝36.(√)
[感悟·提升]
两个防范 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽视了某个条件，就会消灭错误．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．如(2)、(4)、(6)．
二是在利用不等式求最值时，肯定要尽量避开多次使用基本不等式．若必需多次使用，则肯定要保证它们等号成立的条件全都.
同学用书第103页
考点一 利用基本不等式证明简洁不等式
【例1】 已知x＞0，y＞0，z＞0.
求证：≥8.
证明 ∵x＞0，y＞0，z＞0，
∴＋≥＞0，＋≥＞0，
＋≥＞0，
∴≥
＝8.
当且仅当x＝y＝z时等号成立．
规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种状况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件动身，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的规律推理最终转化为需证问题．
【训练1】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥9.
证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
考点二 利用基本不等式求最值
【例2】 (1)(2021·山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为 ( )．
A．0 B．1
C. D．3
(2)(2022·广州一模)已知＋＝1，(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为 ( )．
A．1 B．2
C．4 D．8
审题路线 (1)x2－3xy＋4y2－z＝0⇒变形得z＝x2－3xy＋4y2⇒代入⇒变形后利用基本不等式⇒取等号的条件把＋－转化关于的一元二次函数⇒利用配方法求最大值．
解析 (1)由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2，
∴＝＝.
又x，y，z为正实数，∴＋≥4，
当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2.
∴＋－＝＋－＝－2＋
＝－2＋1，当＝1，即y＝1时，上式有最大值1.
(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)·＝
4＋2≥4＋4＝8.
当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号．
答案 (1)B (2)D
规律方法 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即依据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件机敏变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
【训练2】 (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是 ( )．
A. B.
C．5 D．6
(2)(2022·浙江十校联考)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是 ( )．
A. B.
C．2 D.
解析 (1)由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，
∴3x＋4y的最小值是5.
(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
答案 (1)C (2)C
考点三 基本不等式的实际应用
【例3】 (2022·济宁期末)小王高校毕业后，打算利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流淌成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流淌成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解 (1)由于每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0＜x＜8时，
L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.所以L(x)＝
(2)当0＜x＜8时，L(x)＝－(x－6)2＋9.
此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元，
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，
此时，当且仅当x＝时，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．
规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先认真阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
【训练3】 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年进行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－(k为常数)．假如不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
(2)该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
解 (1)由题意有1＝4－，得k＝3，故x＝4－.
∴y＝1.5××x－(6＋12x)－t
＝3＋6x－t＝3＋6－t＝27－－t(t≥0)．
(2)由(1)知：y＝27－－t＝27.5－.
由基本不等式＋≥2 ＝6，
当且仅当＝t＋，
即t＝2.5时等号成立，
故y＝27－－t＝27.5－
≤27.5－6＝21.5.
当且仅当＝t＋时，等号成立，即t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2021年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．
1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，经常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．
2．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且全都．
教你审题7——如何挖掘基本不等式中的“相等”
【典例】 (2021·天津卷)设a＋b＝2，b>0，则＋取得最小值为________．
[审题] 一审条件：a＋b＝2，b＞0，转化为条件求最值问题；
二审问题：＋转化为“1”的代换；
三审过程：利用基本不等式时取等号的条件．
解析 由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋的最小值为.
答案
[反思感悟] 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决方法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值．
【自主体验】
(2021·台州一模)设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为 ( )．
A．4 B．4
C．9 D．16
解析 由＋＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.
答案 D
对应同学用书P303
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·泰安一模)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )．
A．a＋b≥2 B.＋＞
C.＋≥2 D．a2＋b2＞2ab
解析 由于ab＞0，即＞0，＞0，所以＋≥2＝2.
答案 C
2．(2022·杭州一模)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则＋的最小值是( )．
A．2 B. C．4 D．8
解析 由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.
答案 C
3．(2021·金华十校模拟)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，
∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.
答案 B
4．(2022·陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则( )．
A．a<v< B．v＝
C.<v< D．v＝
解析 设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a<b，∴v＝＝＝<＝.
又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.
答案 A
5．(2022·兰州模拟)已知函数y＝x－4＋(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )．
A．－3 B．2 C．3 D．8
解析 y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x＞－1，得x＋1＞0，＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案 C
二、填空题
6．(2022·广州模拟)若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．
解析 (1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋2＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．
答案 9
7．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为______．
解析 ∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝，即当x＝，y＝2时取等号．
答案 3
8．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为________．
解析 ∵y＝a1－x恒过点A(1,1)，又∵A在直线上，
∴m＋n＝1.而＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时，取“＝”，∴＋的最小值为4.
答案 4
三、解答题
9．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
证明 ＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8.
10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解 (1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，
∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，
∴＋＝·＝≥＝，
当且仅当＝时，等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )．
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4)
D．(－4,2)
解析 ∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－4<m<2.
答案 D
2．(2022·郑州模拟)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋的最小值为( )．
A. B．4 C. D.
解析 由于1＝a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号．又由于a2＋4b2＋≥2＋＝4ab＋.令t＝ab，所以f(t)＝4t＋在单调递减，所以f(t)min＝f＝.此时a＝2b＝.
答案 D
二、填空题
3．(2022·南昌模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
解析 由已知，得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤2，令x＋3y＝t，则t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y≥6.
答案 6
三、解答题
4．(2021·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从其次年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
解 (1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N)，
即y＝－x2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N)，
由－x2＋20x－50＞0，解得10－5＜x＜10＋5.
而2＜10－5＜3，故从第3年开头运输累计收入超过总支出．
(2)由于利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为
＝[y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25)＝19－，而19－≤19－2＝9，当且仅当x＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．
方法强化练——不等式 (对应同学用书P305)
(建议用时：75分钟)
一、选择题
1．“|x|＜2”是“x2－x－6＜0”的( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 不等式|x|＜2的解集是(－2,2)，而不等式x2－x－6＜0的解集是(－2,3)，于是当x∈(－2,2)时，可得x∈(－2,3)，反之则不成立，故选A.
答案 A
2．(2022·青岛一模)若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是( )．
A．a2＞b2 B.＜1 C．lg(a－b)＞0 D.a＜b
解析 ∵0＜＜1，∴y＝x是减函数，又a＞b，
∴a＜b.
答案 D
3．(2022·杭州二中调研)若不等式|8x＋9|＜7和不等式ax2＋bx＞2的解集相等，则实数a，b的值分别为( )．
A．a＝－8，b＝－10 B．a＝－4，b＝－9
C．a＝－1，b＝9 D．a＝－1，b＝2
解析 据题意可得|8x＋9|＜7的解集是{x|－2＜x＜－}，故由{x|－2＜x＜－}是一元二次不等式ax2＋bx＞2的解集，可知x1＝－2，x2＝－是ax2＋bx－2＝0的两个根，依据根与系数的关系可得x1x2＝－＝，
∴a＝－4，x1＋x2＝－＝－，∴b＝－9，故选B.
答案 B
4．(2021·浙江温岭中学模拟)下列命题错误的是( )．
A．若a≥0，b≥0，则≥
B．若≥，则a≥0，b≥0
C．若a＞0，b＞0，且＞，则a≠b
D．若＞，且a≠b，则a＞0，b＞0
解析 若＞，且a≠b，则a＝0，b＞0或a＞0，b＝0或a＞0，b＞0.故D错误．
答案 D
5．(2022·长沙诊断)已知实数x，y满足不等式组则2x＋y的最大值是( )．
A．0 B．3 C．4 D．5
解析 设z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，作出不等式对应的区域，平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，由解得即B(1,2)，代入z＝2x＋y，得z＝2x＋y＝4.
答案 C
6．(2021·北京海淀一模)设x，y∈R＋，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )．
A．40 B．10 C．4 D．2
解析 ∵x，y∈R＋，∴40＝x＋4y≥2＝4，当x＝4y＝20时取等号， ∴xy≤100，lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2.
答案 D
7．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的修理费为第一年2千元，其次年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)( )．
A．8 B．9 C．10 D．11
解析 设使用x年的年平均费用为y万元．
由已知，得y＝，即y＝1＋＋(x∈N*)．
由基本不等式知y≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
答案 C
8．(2022·天水一模)实数x，y满足若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为( )．
A．4 B．3 C．2 D.
解析
作出可行域，由题意可知可行域为△ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2.
答案 C
9．(2022·湖州模拟)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为( )．
A. B. C. D．4
解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6.
所以＋＝·
＝＋
≥＋2＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
答案 A
10．(2022·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为( )．
A．4 B．5 C. D.
解析 依题意，得3x2＋4xy≤3x2＋[x2＋(2y)2]＝4(x2＋y2)，因此有≤4，当且仅当x＝2y时取等号，即的最大值是4，结合题意得λ≥，故λ≥4，即λ的最小值是4.
答案 A
二、填空题
11．(2021·烟台模拟)已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．
解析 由ax2＋2x＋c>0的解集为知a<0，且－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－＋＝－，×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为(－2,3)．
答案 (－2,3)
12．(2022·武汉质检)已知f(x)＝则不等式f(x)＜9的解集是________．
解析 当x≥0时，由3x＜9得0≤x＜2.
当x＜0时，由x＜9得－2＜x＜0.
故f(x)＜9的解集为(－2,2)．
答案 (－2,2)
13．(2022·湖北七市联考)点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y＝kx－1(k＞0)的最大距离为2，则k＝________.
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y＝kx－1的或许位置，如图所示，由于k＞0，所以由图可知，点(0,3)到直线y＝kx－1的距离最大，因此＝2，解得k＝1(负值舍去)．
答案 1
14．(2021·湘潭诊断)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．
解析 由a⊥b得a·b＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.所以9x＋3y≥2＝2＝6.
答案 6
15．(2022·宁波十校联考)设a，b∈(0，＋∞)，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时，上式取等号，利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋(x∈(0，))的最小值为________．
解析 依据已知结论，f(x)＝＋＝＋≥＝25，当且仅当＝，即x＝∈(0，)时，f(x)取最小值为25.
答案 25
三、解答题
16．(2022·长沙模拟)已知f(x)＝.
(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求实数t的范围．
解 (1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0，
由已知其解集为{x|x<－3或x>－2}，
得x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
所以－2－3＝，即k＝－.
(2)∵x>0，f(x)＝＝≤，
由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故实数t的取值范围是.
17．(2021·广州诊断)某单位打算投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解 设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式，得3 200≥2＋20xy＝120 ＋20xy＝120＋20S，则S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，故0＜≤10，从而0＜S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，解得x＝15，即铁栅的长应设计为15米．
18．(2022·泉州调研)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，争辩f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解 (1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1.
f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x＝－1或＋1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．
(2)法一 ∵当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，
∴3ax2≥－x3－3x－1，
∴a≥－－－，
设g(x)＝－－－，∴求g(x)的最大值即可，则g′(x)＝－＋＋＝，
设h(x)＝－x3＋3x＋2，
则h′(x)＝－3x2＋3，当x≥2时，h′(x)＜0，
∴h(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴g′(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴g′(x)≤g′(2)＝0，
∴g(x)在(2，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(2)＝－，
∴a≥－.
法二 由于x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，所以由f(2)≥0，得a≥－.
当a≥－，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥
3＝3(x－2)＞0，
所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.
同学用书第105页
训练工作中的百分之一的废品，就会使国家患病严峻的损失。
——马卡连柯
老师应当擅长组织，擅长行动，擅长运用诙谐，既要欢快适时，又要生气得当。老师应当能让自己的每一举动都能对自己起训练的作用，并且永久应当知道当时自己所期望的是什么，所不期望的是什么。假如一个老师不了解这一点，那他还能训练谁呢？
——马卡连柯
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