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其次次月考数学文试题【新课标Ⅱ版】
留意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间：120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。
2、选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上．
3、主观题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必需写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．
Ⅰ卷 （共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则
A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}
2．已知复数，则复数等于
A． B． C． D．
3．已知角的终边经过点，则＝
A. B. C．－ D．－
4．函数y＝3sin的一条对称轴方程为
A． B． C． D．
5．设则
A． B． C． D．
6．已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t=
A．2 B．3 C． D．4
7.
A．4 B．8 C．10 D．14
8．从{2，3，4}中随机选取一个数，从{2，3，4}中随机选取一个数，则 的概率是
A. B. C． D.
9．我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四周体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为
A． B． C． D．
10．已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝ax＋(x－1)2－2a的零点个数为
A． 1 B．2 C．3 D. 与a有关
11．执行如图所示的程序框图，假如输入的那么输出的S的最大值为
A． 0 B．1 C．2 D.3
是
否
12．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，
该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1:V2等于
A．1:2 B．2:1 C．1:1 D．1:4
Ⅱ卷 （共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．把答案填在题中横线上．
13．在等差数列中， ， ，则 ．
14．正三棱柱的全部棱长均为2， ．
15. 函数 的最大值为________．
16． 定义在Ｒ上的函数，其图象是连续不断的，假如存在非零常数（），使得对任意的，都有，则称为“倍增函数”，为“倍增系数”，
下列命题为真命题的是 （写出全部真命题对应的序号）．
①若函数是倍增系数的倍增函数，则至少有1个零点；
②函数是倍增函数，且倍增系数；
③函数是倍增函数，且倍增系数；
④.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
18. （本小题满分12分）
已知是递减的等差数列，是方程 的根．
(1)求的通项公式；
(2)求数列 的前n项和．
同意
不同意
合计
老师
1
女同学
4
男同学
2
19．（本小题满分12分）某校高三班级有男同学105人，女同学126人，老师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查，设其中某项问题的选择，分别为“同意”、“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中供应了被调查人答卷状况的部分信息．
（1）完成此统计表；
（2）估量高三班级同学“同意”的人数；
（3）从被调查的女同学中选取2人进行访谈，求选到
两名同学中恰有一人“同意”，一人“不同意”的概率．
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E — ABC的体积．
21．（本小题满分12分）
设椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
22．（本小题满分12分）
已知函数，其中，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设是函数的导函数，求函数在区间 上的最小值；
(2)若，函数在区间 内有零点，证明： .
参考答案
一、选择题答案
CADDC ADCAB DA
12.三视图【答案】A
提示:12。依题意，原几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥.球的体积，
几何体的体积，，选A.
二、填空题答案
13．8 14 . 15. 16. ①③
16．∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，∴f（x-2）=-2f（x），
当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，若f（0），f（-2）任一个为0，函数f（x）有零点．
若f（0），f（-2）均不为零，则f（0），f（-2）异号，由零点存在定理，在（-2，0）区间存在x0，
f（x0）=0，即y=f（x）至少有1个零点，故①正确；
∵f（x）=2x+1是倍增函数，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴λ= 故②不正确；
∵ ， ∈（0，1），故③正确；
∵f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，
∴sin[2ω（x+λ）]=λsin（2ωx），（k∈N*)．
故④不正确．故答案为：①③．
三、解答题
17．解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得
cos∠CAD＝， 故由题设知，cos∠CAD＝＝. ……………………5分
(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.
由于cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－， 所以sin∠CAD＝＝
＝，
sin∠BAD＝＝＝.
于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD)
＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD
＝×－× ＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝.故BC＝＝＝3.
18．解：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.
由题意得a2＝3，a3＝2.
设数列{an}的公差为d，则a3－a2＝d，
故d＝－1，从而得a1＝4.
所以{an}的通项公式为an＝－n+5 …………………………………5分
(2)设的前n项和为Sn，由(1)知，
则
两式相减得
即
得
19． 【解】（1）
同意
不同意
合计
老师
1
1
2
女同学
2
4
6
男同学
3
2
5
…………………………………4分
（2）（人） …………………………………7分
（3）设“同意”的两名同学编号为1，2，“不同意”的编号为3，4，5，6
选出两人共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种结果，
其中恰有一人“同意”，一人“不同意”的（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）共8种结果满足题意.每个结果毁灭的可能性相等，所以恰好有1人“同意”，一人“不同意”的概率为.
20．解：(1)证明：在三棱柱ABC A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
所以BB1⊥AB. 又由于AB⊥BC， 所以AB⊥平面B1BCC1.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1. …………………………………4分
(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.
由于E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点 ，
所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.
由于AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.
又由于EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
所以C1F∥平面ABE. …………………………………8分
(3)由于AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝＝.
所以三棱锥E ABC的体积
V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.
21．解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．
由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2. 又b2＝a2－c2，则＝，
所以椭圆的离心率e＝. …………………………………4分
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)， 有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①
又由于点P在椭圆上，所以＋＝1.②
由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.代入①得y0＝，
即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±，
所以直线l的斜率为4＋或4－.
22．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当＜a＜时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，
于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当＜a＜时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；
当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b. …………………………………5分
(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，
f(x)在区间(0，x0)上不行能单调递增，也不行能单调递减．
则g(x)不行能恒为正，也不行能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以＜a＜.
此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
因此x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.
由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有
g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
解得e－2＜a＜1.
所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.
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