(北师大版)数学必修1同步测试：第四章函数应用4.1.2.docx

第四章　§1　1.2

一、选择题
1．函数f(x)＝－x2＋4x－4在区间[1,3]上(　　)
A．没有零点 B．有一个零点
C．有两个零点 D．有很多个零点
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝－(x－2)2＝0，∴x＝2∈[1,3]，故选B.
2．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的变号零点个数为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　C
[解析]　左起3个为变号零点而第4个是不变号零点，故选C.
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
[答案]　A
[解析]　二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0，
明显：f(－2)＝－3，f(1)＝6.
∴f(－2)·f(1)<0.
4．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是不间断的，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在该区间上(　　)
A．只有一个零点 B．有二个零点
C．不愿定有零点 D．至少有一个零点
[答案]　D
[解析]　若y＝f(x)在[a，b]上单调，f(a)·f(b)<0说明只有一个零点且为变号零点．若不单调，零点个数有可能多于一个．故选D.
5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0，在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
[答案]　A
[解析]　∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，
∴根落在区间(1.25,1.5)间，故选A.
6．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上(　　)
A．有3个零点 B．有2个零点
C．有1个零点 D．没有零点
[答案]　C
[解析]　∵f(0)＝1>0，f(1)＝0，f(2)＝3>0，∴有一个零点．
二、填空题
7. 若函数y＝mx2＋x－2没有零点，则实数m的取值范围是________．
[答案]　(－∞，－)
[解析]　当m＝0时，函数有零点，
所以应有解得m<－.
8．已知函数f(2x)＝3x2＋1，则f(x＋5)有________个零点．
[答案]　0
[解析]　∵f(2x)＝3x2＋1，∴f(x)＝＋1，
∴y＝f(x＋5)＝＋1，
令y＝0，方程无解．
即f(x＋5)无零点．
三、解答题
9．求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．
[解析]　设f(x)＝5x2－7x－1，
则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，
f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0.
而二次函数f(x)＝5x2－7x－1是连续的，
∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，
即方程5x2－7x－1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．
10．求函数y＝x3－4x的零点，并画出它的图像．
[解析]　∵x3－4x＝x(x2－4)＝x(x－2)(x＋2)，
∴函数y＝x3－4x的零点为0，－2,2，这三个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)．
列出这个函数的对应值表：
x
…
－2.5
－2
－1
－0.5
0
0.5
1
2
2.5
…
y
…
－5.625
0
3
1.875
0
－1.875
－3
0
5.625
…
在直角坐标系中描点作图，图像如图所示：

一、选择题
1．依据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.7)的一个根所在的区间是(　　)
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
[答案]　C
[解析]　推断ex－(x＋2)＝0的一个根所在的区间转化为f(x)＝ex－(x＋2)零点的位置，
∵f(1)＝e1－(1＋2)<0，f(2)＝7.39－4>0.∴零点在(1,2)内．
2．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)
A．确定有零点 B．确定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
[分析]　利用二次函数在区间(a，b)内的图像确定．
[答案]　C
[解析]　如图，若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)如图(1)或图(2)所示，可知A错，若如图(3)所示，可知B错、D错，C对．

二、填空题
3．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下的对应值表：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
－136
－21
6
19
13
－1
－8
－2
4
29
则下列推断正确的是________．
(1)函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点；
(2)函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点；
(3)函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点；
(4)函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．
[答案]　(1)(2)(3)
[解析]　观看对应值表，不难得到f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，故函数f(x)在区间(－1,0)，(2,3)，(5,6)内至少各有一个零点．而(－1,7)内至少有三个零点．故应填(1)(2)(3)．
4．(2021·北京高考)设函数f(x)＝
①若a＝1，则f(x)的最小值为________；
②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
[答案]　①－1　②≤a<1或a≥2
[解析]　①a＝1时f(x)＝
函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，函数值大于1，在为减函数，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))为增函数，当x＝eq \f(3,2)时，f(x)取得最小值为－1；
②若函数f(x)＝2x－a在x<1时与x轴有一个交点，则a>0，并且当x＝1时，f(1)＝2－a>0，则0<a<2，函数f(x)＝4(x－a)(x－2a)与x轴有一个交点，所以2a≥1且a<1⇒≤a<1；
若函数f(x)＝2x－a与x轴无交点，则函数f(x)＝4(x－a)(x－2a)与x轴两个交点，当a≤0时f(x)与x轴无交点，f(x)＝4(x－a)(x－2a)在x≥1与x轴无交点，不合题意；当f(1)＝2－a≥0时，a≥2，f(x)与x轴有两个交点，x＝a和x＝2a，由于a≥2，两交点横坐标均满足x≥1；综上所述a的取值范围≤a<1或a≥2.
三、解答题
5．图像连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
14
8
－2
2
7
3
－2
－1
8
试推断函数f(x)在哪几个区间内确定有零点？
[解析]　∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，函数f(x)图像又是连续不间断的，
∴确定存在x0∈(2,3)，使f(x0)＝0，
即f(x)在(2,3)内有零点．
同理，f(x)在区间(3,4)，(6,7)，(8,9)上也有零点，而且是变号零点．
6．中心电视台曾有一档消遣节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，假如猜中，就把物品嘉奖给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开头报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，玩耍报价的过程体现了“靠近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来挂念选手猜价吗？
[解析]　取价格区间[500,1 000]的中点750，假如主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数．照这样的方案，玩耍过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．
7．求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1)．
[解析]　由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，
f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，
∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，
取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝1，b0＝1.5
f(1)＝－1，f(1.5)＝0.875
[1,1.5]
x0＝＝1.25
f(x0)<0
[1.25,1.5]
x1＝＝1.375
f(x1)>0
[1.25,1.375]
x2＝＝1.312 5
f(x2)<0
[1.3125,1.375]
x3＝＝1.34375
f(x3)>0
[1.3125,1.34375]
∵区间[1.3125,1.34375]两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，∴原函数精确到0.1的近似零点为1.3.