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高三班级考试
数 学 试 题（理科）
2021.1
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合等于
A. B.
C. D.
2.已知，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.正项等比数列的公比为2，若，则的值是
A.8 B.16
C.32 D.64
4.已知命题：命题.则下列推断正确的是
A.p是假命题 B.q是真命题
C.是真命题 D.是真命题
5.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是
A. B.
C. D. 6.若变量满足条件，则的取值范围为
A. B. C. D.
7.下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是
A. B.
C. D.
8.设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则
A. 上单调递减 B. 上单调递减
C. 上单调递增 D. 上单调递增
9.设函数的零点为的零点为，若可以是
A. B.
C. D.
10.定义在R上的函数满足：的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.
11.已知向量共线，则t= ▲ .
12.设为锐角，若 ▲ .
13.若，则= ▲ .
14.已知直线及直线截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是 ▲ .
15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 ▲ .
三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）
16.（本小题满分12分）
在中，角A、B、C所对的边分别为，且
（I）求角C的大小；
（II）若，的面积，求a、c的值.
17.（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱中，为AB的中点，且
（I）求证：；
（II）求二面角的平面的正弦值.
18.（本小题满分12分）
若数列的前n项和为，且满足：
.
（I）若数列是等差数列，求的通项公式.
（II）若，求.
19.（本小题满分12分）
某公司研发甲、乙两种新产品，依据市场调查猜想，甲产品的利润y（单位：万元）与投资（单位：万元）满足：（为常数），且曲线与直线在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.
（I）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；
（II）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样支配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
（参考数据：）
20.（本小题满分13分）
已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足O为坐标原点.
（I）求椭圆的方程;
（II）求的最值.
21.（本小题满分14分）
设函数.
（I）当时，求的极值；
（II）设A、B是曲线上的两个不同点，且曲线在A、B两点处的切线均与轴平行，直线AB的斜率为，是否存在，使得若存在，恳求出的值，若不存在，请说明理由.
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