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立体几何初步
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.四周体每相对的两棱中点连始终线，则此三直线
A.互不相交 B.至多有两条直线相交 C.三线交于一点 D.两两相交有三个交点
2.长方体的长，宽，高分别是3，2,1，从A到沿长方体表面的最短距离是
A. B. C. D.
3.正方体中，与截面所成的角是
A. B. C. D.
4.直线m与平面间距离为d，那么到m与距离都等于2d的点的集合是
A.一个平面 B.一条直线 C.两条直线 D.空集
5.若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为，则下列各等式中成立的是
A.0＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜＜
6.有四个命题：① 当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆； ② 过球面上两点只能作一个球大圆；③ 过空间四点总能作一个球； ④ 球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.以上四个命题中正确的有
A.0个 B1个 C.2个 D.3个
7.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，则三棱柱的体积为
A. B. C. D.
8.已知球的直径、长方体对角线、圆柱轴截面对角线均相等，这三种几何体的体积最大值分别是，则有
A. B. C. D.
9.将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了
A. B.12a2 C.18a2 D.24a2
10.设正多面体的每个面都是正n边形，以每个顶点为端点的棱有m条，棱数是E，面数是F，则它们之间的关系不正确的是
A.nF=2E B.mV=2E C.V+F=E+2 D.mF=2E
11.在底面边长与侧棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M为A1B1的中点，则M到BC的距离是
A.a B.a C.a D.a
12.如图，水平地面上有一个大球，现有如下方法测量球的大小，用一个锐角为45°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，假如测得PA＝5cm，则球的表面积为
P
A
A.100πcm2 B.100(3＋2)πcm2
C.100(3－2)πcm2 D.200πcm2
二、填空题(每小题4分，共16分)
13. 已知正四棱锥S－ABCD的侧面与底面所成的角为60°，过边BC的截面垂直于平面ASD，交平面ASD于EF，则二面角S－BC－E的平面角为
14.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部 分的体积的比是______
15.正三棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成角的正弦值为，则此三棱锥的表面积为______
16. 直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为9，P、Q分别是侧棱AA1与CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥B－APQC的体积=
三、解答题(共76分)
17.在长方体中，AB=AD=6，侧棱AA1=4，E、F、G分别是AB、AD、AA1的中点.
(1)求证平面EFG//平面B1CD1；(2)求异面直线EF与B1C间的距离.
18.(14分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA=CB=1，AA1=2，，且M，N分别是A1B1，A1A的中点.
(1)求的长；(2)求的值；(3)求证： .
19.(12分）C70 分子是与C60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面都是五边形或六边形。求C70分子中五边形和六边形的个数．
20.(12分）正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：(1)截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.
21.(12分).在四周体ABCD中，AC=m，BD=n，AC与BD成的角为，则异面直线AC与BD间的距离为，求四周体ABCD的体积.
22.(14分)如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.
A
B
C
D
E
G
A1
B1
C1
(1)求A1B与平面ABD所成角的大小
（结果用反三角函数值表示）；
（2）求点A1到平面AED的距离.
答 案
1.C 2.C 3.C 4.C 5.D 6.C 7.D 8.C 9.B 10.D 11.A 12.B
13.300
14. 1∶7∶19
15.
16.3
17.(1)略；(2)
18. (1)；(2) ；(3)略.
19. 12，25
20.(1) 450；(2) .3：1
21.略
22. (1)；(2)
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