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专题七 概率与统计
第1讲 概率与统计
1．(仿2021·新课标全国卷Ⅱ，14)将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是________．
解析 将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则有C＋C＋C＝63种，由于1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以要使两组中各数之和相等，则有各组数字之和为14.则有7＋6＋1＝5＋4＋3＋2；7＋5＋2＝6＋4＋3＋1；7＋4＋3＝6＋5＋2＋1；7＋4＋2＋1＝6＋5＋3；共4种，所以两组中各数之和相等的概率是.
答案
2．(仿2021·湖南，2)某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户，低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．
解析 由抽样比例可知＝，则x＝24.
答案 24
3．(仿2021·辽宁，5)某中学为了解同学数学课程的学习状况，在3 000名同学中随机抽取200名，并统计这200名同学的某次数学考试成果，得到了样本的频率分布直方图(如图)．依据频率分布直方图推想，这3 000名同学在该次数学考试中成果小于60分的同学数是________．
解析 由样本频率分布直方图知，数学考试中成果小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，
∴估量总体中成果小于60分的概率约为0.2.
故成果小于60分的同学数约为3 000×0.2＝600(人)．
答案 600
4．(仿2021·福建，11)在区间[－1,1]上随机取一个数x，使得cos的值介于0到之间的概率为________．
解析 在区间[－1,1]上随机取一个实数x，cos的值位于[0,1]区间，若使cos的值位于区间，取到的实数x应在区间∪内，依据几何概型的计算公式可知P＝＝.
答案
5．(仿2021·新课标Ⅱ，14)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书却不相邻的概率是________．
解析 语文、数学只有一科的两本书相邻，有2AA·A＝48种摆放方法；
语文、数学两科的两本书都相邻，有AAA＝24种摆放方法．
又5本不同的书排成一排共有A＝120种摆法．
∴所求大事的概率为1－＝.
答案
6．(仿2022·陕西，6)在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.
解析 由茎叶图可知，甲图中共有9个数，分别为28,31,39,45,42,55,58,57,66，其中位数为45；乙图中共有9个数分别为29,34,35,48,42,46,53,55,67其中位数为46.
答案 45 46
7．(仿2021·四川，19)小波通过做玩耍的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为________．
解析 设A表示大事“小波在家看书”，则“小波不在家看书”为大事.
由几何概型，P(A)＝＝.
∴P()＝1－＝.
答案
8．(仿2022·江苏，6)某艺校在一天的6节课中随机支配语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．
解析 相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课，可以分两类：
第一类：文化课之间不排艺术课，设此大事为A，则P(A)＝＝.
其次类：文化课之间排艺术课，设此大事为B，
①三节文化课之间有一节艺术课的排列状况总数为2CAA，
②三节文化课中间有两节不相邻艺术课的排列总数为AAA，
∴P(B)＝＝，
∴P＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案
9．(仿2021·全国Ⅱ，19)某校从高一班级同学中随机抽取40名同学，将他们的期中考试数学成果(满分100分，成果均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中实数a的值；
(2)若该校高一班级共有同学640人，试估量该校高一班级期中考试数学成果不低于60分的人数；
(3)若从数学成果在[40,50)与[90,100]两个分数段内的同学中随机选取2名同学，求这2名同学的数学成果之差的确定值不大于10的概率．
解 (1)由已知得，10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，解得a＝0.03.
(2)依据频率分布直方图可知，成果不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.
由于该校高一班级共有同学640人，利用样本估量总体的思想，可估量该校高一班级期中考试数学成果不低于60分的人数约为640×0.85＝544.
(3)易知成果在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成果在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.
若从数学成果在[40,50)与[90,100]两个分数段内的同学
中随机选取2名同学，则全部的基本大事有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．
假如2名同学的数学成果都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名同学的数学成果之差的确定值肯定不大于10.假如一个成果在[40,50)分数段内，另一个成果在[90,100]分数段内，那么这2名同学的数学成果之差的确定值肯定大于10.
记“这2名同学的数学成果之差的确定值不大于10”为大事M，则大事M包含的基本大事有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个．
所以所求概率为P(M)＝.
10．(仿2021·广东，17)某活动将在辽宁沈阳进行，组委会在沈阳某高校招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”．
(1)假如用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；
(2)若从身高180 cm以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm以上的概率．
解 (1)依据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，
所以抽取的5人中，“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人．
“高个子”用A，B表示，“非高个子”用a，b，c表示，则从这5人中选2人的状况有：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，
至少有一名“高个子”被选中的状况有：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共7种．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是P＝.
(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm；有2名女志愿者身高在180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为180 cm,181 cm.抽出的2人用身高表示，则有：(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种状况．
身高相差5 cm以上的有：(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种状况，故这2个身高相差5 cm以上的概率为＝.
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