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导数的几何意义
例1 已知曲线y=x3+.
(1) 求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2) 求曲线过点P(2,4)的切线方程;
(3) 求斜率为1的曲线的切线方程.
【分析】 (1) 由于点P(2,4)在曲线上,所以可求出切线的斜率,从而可求出切线方程;(2) 求过点P(2,4)的切线方程,可能该点是切点,也可能不是;(3) 求斜率为1的曲线的切线方程,首先要求出切点.
【解答】 (1) 由于点P(2,4)在曲线y=x3+上,且y'=x2,
所以在点P(2,4)处的切线的斜率k=4,
所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2) 设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率k=,所以切线方程为y-=(x-x0),即y=·x-+.
由于点P(2,4)在切线上,
所以4=2-+,
即-3+4=0,
所以+-4+4=0,
所以(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
(3) 设切点为(x0,y0),则切线的斜率为=1,x0=±1.
由于切点为(-1,1)或,
所以切线方程为y-1=x+1或y-=x-1,
即x-y+2=0或3x-3y+2=0.
【点评】 解决函数切线的相关问题,需抓住以下关键点:(1) 切点是交点;(2) 在切点处的导数是切线的斜率.因此,解决此类问题,一般要设出切点,建立关系—方程组;(3) 求曲线的切线要留意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.过点P的切线中,点P不愿定是切点,点P也不愿定在已知曲线上;在点P处的切线,点P是切点.
变式 设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1) 求函数y=f(x)的解析式;
(2) 求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
【解答】 (1) 方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.
当x=2时,y=.又f'(x)=a+,
于是解得
故f(x)=x-.
(2) 设P(x0,y0)为曲线上任一点,
由y'=1+知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).
令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.
令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为|2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
利用导数争辩函数的单调性
例2 设函数f(x)=,x≠0.
(1) 推断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2) 求证:对任意正数a,存在正数x,使不等式|f(x)-1|<a成立.
【解答】 (1) f'(x)==,
令h(x)=(x-1)ex+1,则h'(x)=ex+ex(x-1)=xex.
当x>0时,h'(x)=xex>0,
所以h(x)是(0,+∞)上的增函数,
所以h(x)>h(0)=0,
故f'(x)=>0,
即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2) |f(x)-1|=,
当x>0时,令g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1>0,
故g(x)>g(0)=0,
所以|f(x)-1|=,
原不等式化为<a,即ex-(1+a)x-1<0.
令φ(x)=ex-(1+a)x-1,则φ'(x)=ex-(1+a),
由φ'(x)=0,得ex=1+a,解得x=ln(1+a).
当0<x<ln(1+a)时,φ'(x)<0;
当x>ln(1+a)时,φ'(x)>0.
故当x=ln(1+a)时,φ(x)取得最小值φ(ln(1+a))=a-(1+a)ln(1+a).
令s(a)=-ln(1+a),a>0,
则s'(a)=-=-<0,
故s(a)<s(0)=0,
即φ(ln(1+a))=a-(1+a)ln(1+a)<0.
对任意正数a,存在正数x,
不等式|f(x)-1|<a成立.
【点评】 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤:①确定函数f(x)的定义域;②求导函数f'(x);③在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;④依据③的结果确定函数f(x)的单调区间.解题过程中要留意对含参数的函数的单调性进行争辩.
利用导数争辩函数的极值(最值)问题
例3 设函数f(x)=x3+mx2+nx.
(1) 假如g(x)=f'(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求函数f(x)的解析式;
(2) 假如m+n<10(m,n∈N*),且f(x)的单调减区间的长度是正整数,试求m,n的值.(注:区间(a,b)的长度为b-a)
【分析】 (1) 在x=-2处取得最小值-5,可得出两个方程;(2) 单调递减,说明f'(x)<0恒成立.所以问题转化为二次不等式的问题.
【解答】 (1) 已知函数f(x)=x3+mx2+nx,对其求导,得f'(x)=x2+2mx+n.
又由于g(x)=f'(x)-2x-3=x2+(2m-2)x+n-3,所以g'(x)=2x+2m-2.又g(x)在x=-2处取极值,
则g'(-2)=2×(-2)+(2m-2)=0,解得m=3,
又g(x)在x=-2处取最小值-5.
则g(-2)=(-2)2+(-2)×4+n-3=-5,解得n=2.
所以f(x)=x3+3x2+2x.
(2) 要使f(x)=x3+mx2+nx单调递减,则f'(x)=x2+2mx+n<0恒成立.
又减区间长度是正整数,设f'(x)=x2+2mx+n=0两根分别为a,b,则b-a为区间长度.
又b-a===2(m,n∈N*).
又b-a为正整数,且m+n<10,所以m=2,n=3或m=3,n=5符合题意.
【点评】 (1) 求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤,第一步:求导数f'(x);其次步:求方程f'(x)=0的根x0;第三步:检查f'(x)在x=x0左右的符号.①左正右负Ûf(x)在x=x0处取极大值.②左负右正Ûf(x)在x=x0处取微小值.(2) 求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤,第一步:求函数y=f(x)在区间[a,b]内的极值、极大值或微小值;其次步:将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
变式 (2022·苏州期末)已知a,b为常数,a≠0,函数f(x)=ex.
(1) 若a=2,b=1,求函数f(x)在(0,+∞)内的极值.
(2) ①若a>0,b>0,求证:函数f(x)在区间[1,2]上是增函数;
②若f(2) <0,f(-2)<e-2,且函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,求由全部点(a,b)组成的平面区域的面积.
【解析】 (1) 由题知f'(x)=ex=(ax2+bx-b).
当a=2,b=1时,f'(x)=(2x2+x-1)=(x+1)(2x-1).
令f'(x)=0,得x=或x=-1(舍去).
由于>0,所以当x∈时,f'(x)<0,f(x)是减函数;当x∈时,f'(x)>0,f(x)是增函数.
所以当x=时,f(x)取得微小值且微小值为4.
(2) 由(1)知f'(x)=(ax2+bx-b),
令g(x)=ax2+bx-b.
①由于a>0,b>0,
所以二次函数g(x)的图象开口向上,对称轴x=-<0,且g(1)=a>0,
所以g(x)>0对一切x∈[1,2]恒成立.
又>0,所以f'(x)>0对一切x∈(1,2)恒成立.
由于f(x)的函数图象是不间断的,所以f(x)在区间[1,2]上是增函数.
②由于f(2)<0,f(-2)<e-2,
所以即 (*)
由①知函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,
所以f'(x)≥0对x∈(1,2)恒成立.
则g(x)=ax2+bx-b≥0对x∈(1,2)恒成立.
所以 (**)
在(*)(**)的条件下,可知b<0且1<-≤2,且g==-b·≥0恒成立.
(变式)
综上,点(a,b)满足的线性约束条件是
由全部点(a,b)形成的平面区域为△OAB(如图阴影部分所示),
其中A,B,C(1,0).
则S△OAB=S△OAC-S△OBC=×=,
即由所求点(a,b)组成的平面区域的面积为.
利用导数解决实际问题
例4 某单位打算对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用y(单位:万元)随医疗总费用x(单位:万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;③报销的医疗费用不得超过8万元.
(1) 请你分析该单位能否接受函数模型y=0.05(x2+4x+8)作为报销方案;
(2) 若该单位打算接受函数模型y=x-2lnx+a(a为常数)作为报销方案,请你确定整数a的值.(参考数据:ln2≈0.69,ln10≈2.3)
【分析】 (1) 方案(1)是二次函数模型,应留意检验最值与部分值的关系.(2) 方案(2)是格外规函数模型,只有通过求导来求极值.
【解答】 (1) 函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数,满足条件①.
当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③.
但当x=3时,y=<,即y≥不恒成立,不满足条件②.
故该函数模型不符合该单位报销方案.
(2) 对于函数模型y=x-2lnx+a,
设f(x)=x-2lnx+a,则f'(x)=1-=≥0.
所以f(x)在[2,10]上是增函数,满足条件①.
由条件②,得x-2lnx+a≥,即a≥2lnx-在x∈[2,10]上恒成立,
令g(x)=2lnx-,则g'(x)=-=,由g'(x)>0,得x<4;由g'(x)<0,得x>4.
所以g(x)在(0,4)上是增函数,在(4,10)上是减函数.
所以a≥g(4)=2ln4-2=4ln2-2.
由条件③,得f(10)=10-2ln10+a≤8,
解得a≤2ln10-2.
另一方面,由x-2lnx+a≤x,得a≤2lnx在x∈[2,10]上恒成立,所以a≤2ln2.
综上所述,实数a的取值范围为[4ln2-2,2ln2],
所以满足条件的整数a的值为1.
【点评】 在求实际问题的最值时,一般先找出自变量的因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用导数求解相关的最值问题,留意实际问题的意义,不符合的解要舍去.
变式 (2022·徐州、宿迁三检)依据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率p与日产量x(单位:件)之间近似地满足关系式p=(日产品废品率=×100%).已知每生产一件正品可赢利2千元,而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额)
(1) 将该车间日利润y(单位:千元)表示为日产量x(单位:件)的函数;
(2) 当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?
【解答】 (1) 由题意可知
y=2x(1-p)-px=
(2) 考虑函数f(x)=
当1≤x≤9时,f'(x)=2-,令f'(x)=0,得x=15-3.
当1≤x<15-3时,f'(x)>0,函数f(x)在[1,15-3)上单调递增;
当15-3<x≤9时,f'(x)<0,函数f(x)在(15-3,9]上单调递减.
所以当x=15-3时,f(x)取得极大值,也是最大值,
又x是整数,f(8)=,f(9)=9,
所以当x=8时,f(x)有最大值.
当10≤x≤20时,f'(x)=-=≤0,所以函数f(x)在[10,20]上单调递减,
所以当x=10时,f(x)取得极大值,也是最大值.
由于>,所以当该车间的日产量为10件时,日利润最大,最大利润为千元.
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