四川省金堂中学2022届高三上学期开学收心考试数学(理)试题-Word版含答案.docx

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金堂中学高2022届高三上期收心考试试题
数 学（理科）
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的
1、 已知集合A=，则=（ ）
A. B. C. D.
2、“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB。在长方形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
4、若，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C． D. ，都有
5、执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（ ）

A.19 B.42 C.47 D.89

6、设145°，52°，47°，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（　）
A.2 B. 3 C. D.

8、已知等差数列{an}的公差d＝－2，a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99的值是 (　　)
A.－78 B.－82 C.－148 D.－182
9、设、是两个不同的平面，是一条直线，以下命题：
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10、 有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花

必需相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是(　　)

A．12 B．36 C．24 D．48
11、是双曲线C：，（a>0,b>0）的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点，若,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
12、已知函数（），若，则的最小值为
A. B. C. D.

高2022届 班 姓名： 考籍号： 座位号：
……………………………………密………………………………封………………………………线…………………………………………
金堂中学高2022届高三上期收心考试试题
数 学（理科）
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、 填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分。请将正确答案填写在横线上
甲 乙
7 1 2 6
2 8 2 3 1 9
6 4 5 3 1 2
13.复数在复平面内对应的点的坐标为
14、如图是甲、乙两名篮球运动员2021年赛季每场竞赛得分的
茎叶图，则甲、乙两人竞赛得分的中位数之和为 .
15、定义在R上的函数满足，为的导函数，已知y=的图象如图所示，且有且只有一个零点，若非负实数a，b满足，则的取值范围是_____
16、已知函数，当时，给出下列几个结论：
①；②；
③;④当时，.
其中正确的是 （将全部你认为正确的序号填在横线上）．
三、 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、 （本小题满分12分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在一次英语听力测试中的成果(单位:分)：
甲组

乙组

9
0
9

2
1
5

8
7
4
2
4

已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的众数是18.
（Ⅰ）求的值，并用统计学问分析两组同学成果的优劣；
（Ⅱ）从两组同学中任意抽取3名，记抽到甲组的同学人数为X，求X的分布列和期望.

18、 （本小题满分12分）
在中，角的对边分别是，若。
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，的面积为，求的值。

19、 （本小题满分12分）
已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．

20、 （本小题满分12分）
C1
A1
C
B1
A
B
D
如图，三棱柱中，⊥面，，，为的中点.
（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得？请证明你的结论.

21、 （本小题满分13分）
给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程.
（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点.
（1）当为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程.
（2）求证：为定值.

22、 （本小题满分13分）
已知函数.
(1) 若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围；
(2) 假如当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
(3)求证：

金堂中学高2022届摸底考试数学（理）答案
DCBAB ABBAC DC
7.试题分析：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=x，底面是一个上下边分别为1，2，高为2的直角梯形．V=，所以x=3.
故选：D．

12、C 由可得，，而=
，当且仅当 时取“=”，从而， ，故选C.
16、
，又由于f（x）在（，+∞）递增，所以时，即，所以时，，故为增函数，所以，所以，故④正确.
13.(2,-1);14.54；15、; 16、ƒ④
17.解：（Ⅰ）甲组五名同学的成果为9,12,10+x,24,27.
乙组五名同学的成果为9，15，10+y，18，24.
由于甲组数据的中位数为13，乙组数据的众数是18，
所以， 2分
, 4分
由于甲组数据的平均数为， 5分
乙组数据的平均数是， 6分
则甲组同学成果稍好些； 7分
（Ⅱ）的取值为0、1、2、3.
， 8分
， 9分
， 10分
， 11分
所以X的分布列为

0
1
2
3
P

EX=0
∴X的期望为 12分
18、解（1）∵，由正弦定理得：，
∴
∵，∴ ∴， 又
∴； ………………………………………………………………………………… 6分
（2）方法一：∵，的面积为，∴ ∴ ……8分
，即， …………………………………………… 9分
， …………………………………………………………… 10分
∴. …………………………………………12分
方法二：
………………………………12分
19、解　(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，
f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，
因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－ (2＋4a)x＋9a＝0.②
由于方程②有两个相等的根，
所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.
由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①，
得f(x)＝－x2－x－.
(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a2－及a<0，可得f(x)的最大值为－.
由解得a<－2－或－2＋<a<0.
故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是
(－∞，－2－)∪(－2＋，0).
20、题：（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD． …………1分
∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．
又D是AC的中点，∴OD//AB1．
A1
A
C1
z
x
y
C
B1
B
D
∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1． …………4分
（II）解：如图，建立空间直角坐标系，
则C1（0，0，0），B（0，3，2），
C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0），

，， …………5分
设是面BDC1的一个法向量，则
即，取.
易知是面ABC的一个法向量.
.
∴二面角C1—BD—C的余弦值为. …………8分
（III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P（2，y，0）（0≤y≤3），则 ，
则，即.
解之∴方程组无解.
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. …………12分
21.（Ⅰ），椭圆方程为
准圆方程为. 4分
（Ⅱ）（1）由于准圆与轴正半轴的交点为，
设过点且与椭圆有一个公共点的直线为，
所以由消去，得.
由于椭圆与只有一个公共点，
所以，解得。
所以方程为. 4分
（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
由于与椭圆只有一个公共点，则其方程为，
当方程为x=时，此时与准圆交于点，，
此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），
即为（或），明显直线垂直；
同理可证方程为时，直线垂直. 8分
②当都有斜率时，设点，其中.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
则消去，得.
由化简整理得：
由于，所以有.
设的斜率分别为，由于与椭圆只有一个公共点，
所以满足上述方程，
所以，即垂直.
综合①②知：由于经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以. 13分
22、(1)函数的定义域为，.
令，得；当时，，单调递增；
当时，，单调递减. 所以，为极大值点，
所以，故，即实数的取值范围为. (4分)
(2)当时，，令，
则.再令，
则，所以，所以，
所以为单调增函数，所以，故. (8分)
(3) 由(2)知，当时，，.
令，则，所以，，所以
，
所以
所以. (13分)
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