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十八 电场能的性质
1．如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，电场线的方向如图中箭头所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN.以下说法正确的是( )
A．O点电势与Q点电势相等
B．O、M间的电势差小于N、O间的电势差
C．将一负电荷由M点移到Q点，电荷的电势能增加
D．在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
答案：C 解析：由电场线的方向可知φM>φO>φN，再作出此电场中过O点的等势线，可知φO>φQ，A错误；且MO间的平均电场强度大于ON间的平均电场强度，故UMO>UON，B错误；因UMQ>0，负电荷从M到Q电场力做负功，电势能增加，C正确；正电荷在Q点的电场力方向沿电场线的切线方向而不是圆的切线方向，D错误．
2．如图所示，A、B、C、D是真空中一正四周体的四个顶点．现在在A、B两点分别固定两个点电荷Q1和Q2，则关于C、D两点的场强和电势，下列说法正确的是( )
A．若Q1和Q2是等量异种电荷，则C、D两点电场强度不同，电势相同
B．若Q1和Q2是等量异种电荷，则C、D两点电场强度和电势均相同
C．若Q1和Q2是等量同种电荷，则C、D两点电场强度和电势均不相同
D．若Q1和Q2是等量同种电荷，则C、D两点电场强度和电势均相同
答案：B 解析：若Q1和Q2是等量异种电荷，则C、D位于两个点电荷的中垂面上，所以C、D两点电场强度相同，电势相同，所以A错误，B正确；若Q1和Q2是等量同种电荷，则C、D两点电势相同，电场强度大小相等，方向不同，所以C、D错误．
3．(多选)如图所示，在平面直角坐标系中有一底角是60°的等腰梯形，坐标系中有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中O(0,0)点电势为6 V，A(1，)点电势为3 V，B(3，)点电势为0 V，则由此可判定( )
A．C点的电势为3 V
B．C点的电势为0 V
C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
D．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
答案：BD 解析：由题意可知C点坐标为(4,0)．在匀强电场中，任意两条平行的线段，两点间电势差与其长度成正比，所以＝，代入数据得φC＝0 V，则A错，B对；取OC的中点设为D，则D点电势为3 V，和A点电势相等，连接AD，由几何关系知，AD平行于BC，则AD是匀强电场中的等势线，过O作AD的垂线OG，垂足为G，OG即是一条电场线，由几何关系知OG长为 cm，则E＝＝ V/m＝100 V/m，则D对，C错．
4．某区域的电场线分布如图所示，其中间一根电场线是直线，一带正电的粒子从直线上的O点由静止开头在电场力作用下运动到A点．取O点为坐标原点，沿直线向右为x轴正方向，粒子的重力忽视不计．在O到A运动过程中，下列关于粒子运动速度v和加速度a随时间t的变化、粒子的动能Ek和运动径迹上电势φ随位移x的变化图线可能正确的是( )
答案：B 解析：带正电的粒子从O点向A点运动，电场线先变疏再变密，电场强度先变小，后变大，故电场力和粒子的加速度也是先变小，后变大，选项B正确；粒子从O向A运动，始终加速，但加速度先变小，后变大，其速度—时间图象的斜率应是先变小，后变大，选项A错误；从O到A，电场强度先变小，后变大，单位长度上的电势降落应是先变小，后变大，选项C错误；依据Ek＝mv2＝Fx，Ekx图象的斜率为力F，从O到A，粒子所受的电场力先变小，后变大，故Ekx图象的斜率应先变小，后变大，选项D错误．
5．(多选)如图所示，P、Q处固定放置两等量异种电荷，b、c、O在P、Q的连线上，e、O为两点电荷连线的中垂线上的点，且ab＝eO，bc＝cO，ab⊥bO，ae⊥eO，则( )
A．a点电势等于b点电势
B．b点场强大于e点场强
C．电子在a点的电势能大于电子在O点的电势能
D．b、c间电势差大于c、O间电势差
答案：BD 解析：等量异种点电荷四周的电场线分布状况如图所示，a点和b点不在同一个等势面上，电势不相等，选项A错误；依据电场线的疏密状况可得，b点的场强大于e点的场强，选项B正确；a点的电势大于零，O点的电势等于零，电子带负电，在高电势处电势能小，选项C错误；b、c间的电场线比c、O间的电场线密，场强大，电势降低得快，所以b、c间的电势差大于c、O间的电势差，选项D正确．
6．(2021·浙江嘉兴一中摸底)如图为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J，电场力做的功为1.5 J，则下列说法正确的是( )
A．粒子带负电
B．粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C．粒子在A点的动能比在B点少0.5 J
D．粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
答案：D 解析：由于电场力做正功，因此电场力与电场线方向相同，粒子带正电，A错误；电场力做了1.5 J的正功，电势能削减了1.5 J，因此粒子在B点的电势能比在A点少1.5 J，B错误；依据动能定理ΔEk＝W重力＋W电场力＝－2.0 J＋1.5 J＝－0.5 J，因此从A运动到B动能削减了0.5 J，C错误；由于除重力和系统内弹力以外的力做功转变机械能，在此题中，电场力做功为1.5 J，因此机械能增加1.5 J，D正确．
7．(2021·山东潍坊一模)(多选)直线ab是电场中的一条电场线，从a点无初速度释放一电子，电子仅在电场力作用下，沿直线从a点运动到b点，其电势能Ep随位移x变化的规律如图所示，设a、b两点的电场强度分别为Ea和Eb，电势分别为φa和φb，则( )
A．Ea>Eb B．Ea<Eb
C．φa<φb D．φa>φb
答案：AC 解析：依据图象可知，图线的斜率表示电场力的大小．电子从a到b，电势能图线的斜率渐渐减小，则电场力渐渐减小，故电场强度渐渐减小，所以Ea>Eb，A正确，B错误；由于电势能渐渐降低，所以电场力做正功，则电子所受的电场力方向由a指向b，电场线的方向由b指向a，沿电场线方向电势渐渐降低，所以φa<φb，C正确，D错误．
8．(2021·浙江温州十校期中)(多选)如图所示，绝缘弹簧的下端固定在光滑斜面底端，弹簧与斜面平行，带电小球Q(可视为质点)固定在绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上．现将与Q大小相同、带电也相同的小球P，从直线ab上的N点由静止释放，若两小球可视为点电荷，在小球P与弹簧接触到速度变为零的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球P的速度肯定先增大后减小
B．小球P的机械能肯定在削减
C．小球P速度最大时所受弹簧弹力和库仑力的合力为零
D．小球P与弹簧系统的机械能肯定增加
答案：AD 解析：带电小球P与弹簧接触后，在沿斜面方向受到重力沿斜面对下的分力，沿斜面对下的库仑斥力F＝，沿斜面对上的弹簧弹力，在最初阶段，弹簧弹力小于mgsin θ＋，小球P先加速，但是弹力渐渐增大，库仑斥力渐渐减小，合力变小，加速度变小，即第一阶段是加速度渐渐减小的加速运动，其次阶段弹力大于mgsin θ＋，合力沿斜面对上开头减速，弹力渐渐增大，库仑斥力渐渐减小，合力变大，加速度变大，即其次阶段是加速度渐渐变大的减速运
动，直到速度减小为0，选项A对．小球P的机械能变化等于除重力外其他力做的功，即库仑力和弹力的合力做的功，初始阶段弹力小于库仑斥力，二者合力做正功，机械能增加，当弹力大于库仑斥力后，二者合力做负功，机械能削减，选项B错．小球P速度最大时加速度等于0，即弹力等于库仑力加重力沿斜面对下的分力，选项C错．小球P与弹簧系统的机械能变化等于除系统内弹力和重力外其他力做的功，即库仑斥力做的功，由于库仑斥力做正功，系统机械能增加，选项D对．
9．(多选)a、b是位于x轴上的两个点电荷，电荷量分别为Q1和Q2，沿x轴a、b之间各点对应的电势如图中曲线所示(取无穷远电势为零)，M、N、P为x轴上的三点，P点对应图线的最低点，a、P间距离大于P、b间距离．一质子以某一初速度从M点动身，仅在电场力作用下沿x轴从M点运动到N点，下列说法正确是( )
A．P点处的电场强度为0
B．a和b肯定是等量同种电荷
C．质子在运动过程中速领先增大后减小
D．质子在运动过程中加速度先增大后减小
答案：AC 解析：由电势图线知两电荷均带正电，但电荷量Q1>Q2，选项B错误；由沿电场线方向电势降低知，在P点场强方向转变，所以P点处的电场强度为0，选项A正确；质子从M点运动到N点，加速度先减小后增大，速领先增大后减小，选项C正确，D错误．
10．(多选)如图所示，水平放置的平行金属板充电后在板间形成匀强电场，板间距离为d，一个带负电的液滴带电荷量大小为q，质量为m，从下板边缘射入电场，沿直线从上板边缘射出，则( )
A．液滴做的是匀速直线运动
B．液滴做的是匀减速直线运动
C．两板间的电势差为
D．液滴的电势能削减了mgd
答案：ACD 解析：首先依据运动是直线运动，确定要考虑重力，而电场力也在竖直方向上，所以可以确定合外力必定为零，因而确定了液滴的运动性质和所受重力和电场力的关系，液滴斜向右上运动，电场力做正功，且W电＝mgd，故电势能削减了mgd，电势差为U＝＝，B错误，A、C、D正确．
11．如图所示，在竖直平面内，光滑的绝缘细杆AC与半径为R的圆交于B、C两点，在圆心O点处固定一正电荷，B为AC的中点，C位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量的大小为q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开头沿杆下滑．已知重力加速度为g，A、C两点的高度差为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.求：
(1)A、B两点间的电势差UAB；
(2)小球滑至C点时的速度大小．
答案：(1)－ (2)
解析：(1)小球由A到B的过程中，由动能定理得：
mg·R－qUAB＝m(2)2
解得：UAB＝－
(2)小球由A到C的过程中，由动能定理得：mg·3R－qUAC＝mv ，其中UAB＝UAC.由以上各式可得小球滑到C点时的速度大小vC＝.
12．如图所示，等量异种点电荷，固定在水平线上的M、N两点上，电荷量均为Q，有一质量为m、电荷量为＋q(可视为点电荷)的小球，固定在长为L的绝缘轻质细杆的一端，细杆另一端可绕过O点且与MN垂直的水平轴无摩擦地转动，O点位于MN的垂直平分线上距MN为L处，现在把杆拉到水平位置，由静止释放，小球经过最低点B时速度为v，取O处电势为零，忽视q对＋Q、－Q形成电场的影响．求：
(1)小球经过B点时对杆的拉力大小；
(2)在＋Q、－Q形成的电场中，A点的电势φA；
(3)小球连续向左摇摆，经过与A等高度的C点时的速度．
答案：(1)mg＋ (2) (3)
解析：(1)小球经B点时，在竖直方向有
T－mg＝
T＝mg＋
由牛顿第三定律知，小球对细杆的拉力大小也为mg＋
(2)由于取O点电势为零，而O在MN的垂直平分线上，所以φB＝0.
电荷从A到B过程中，
由动能定理得mgL＋q(φA－φB)＝mv2
φA＝
(3)由电场对称性可知，φC＝－φA，即UAC＝2φA
小球从A到C过程，依据动能定理
qUAC＝mv
vC＝
13．如图所示，在O点放置一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q.小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆(图中实线表示)相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h.若小球通过B点的速度为v，求：
(1)小球通过C点的速度大小；
(2)小球由A到C电场力做了多少功；
(3)小球由A到C机械能的损失．
答案：(1) (2)mv2＋mgR－mgh
(3)mg－mv2
解析：(1)小球从A到B运动的过程中，设电场力做功为WF，则由动能定理可得：
mg(h－R·sin 30°)＋WF＝mv2－0
从A到C：mgh＋WF＝mv
联立以上两式可得：vC＝
(2)小球由A到C电场力做功WF＝mv2＋mgR－mgh
(3)小球由A到C机械能的损失等于除重力以外其他的力(电场力)所做的功的大小，由B到C电场力做功为0，则
E损＝mg－mv2
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