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课时作业52 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2022·嘉兴一模，8)经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于( )
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，(，)，
∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.
答案：B
2．(2022·石家庄一模)直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为( )
A．16 B.
C．4 D.
解析：由得x2－3x－4＝0，∴xA＝－1，yA＝，xD＝4，yD＝4，直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)，且该圆圆心为F(0,1)，
∴|AF|＝yA＋1＝，|DF|＝yD＋1＝5，
∴＝＝，故选B
答案：B
3．(2022·潍坊一模)直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于( )
A. B．2
C. D．4
解析：直线4kx－4y－k＝0，即y＝k(x－)，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点(，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.
答案：C
4．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是( )
A．4 B.
C．2 D．不能确定
解析：方法一：直线y＝kx＋1恒过定点P(0,1)，且是椭圆的上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，
设椭圆上任意一点Q(2cosθ，sinθ)，
∴|PQ|2＝(2cosθ)2＋(sinθ－1)2
＝－3sin2θ－2sinθ＋5
∴当sinθ＝－时，|PQ|＝，
∴|PQ|max＝.
方法二(排解法)：直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，该点是椭圆＋y2＝1的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排解A，C；将直线y＝kx＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有很多条相交弦，其中必有最大弦长，因此排解D.故选B.
答案：B
5．(2022·台州质检)设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，F2，故|AF1|＝|BF2|＝，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角θ的正切值为，结合图形易得tanθ＝＝＝，故|CF1|＋|CF2|＝＝|F1F2|＝2c，整理并化简得b2＝(a2－c2)＝ac，即(1－e2)＝e，解得e＝.
答案：C
6．(2022·吉安一模)抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|的值等于( )
A．7 B．3
C．6 D．5
解析：点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7.
答案：A
7．(2022·宁波十校联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝( )
A．1＋2 B．4－2
C．5－2 D．3＋2
解析：
如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，
∴e2＝＝5－2，故应选C.
答案：C
8．(2022·辽宁大连一模)已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A．(－，) B．(－，)
C．[－，] D．[－，]
解析：由题意知，F(4,0)，双曲线的两条
渐近线方程为y＝±x.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图像，数形结合可知应选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．直线l：x＋＝1与椭圆x2＋＝1交于A，B两点，O为原点，则△OAB的面积为________．
解析：l过椭圆的顶点(1,0)和(0,2)，S△OAB＝×2×1＝1.
答案：1
10．(2022·琼海一模，13)椭圆＋y2＝1的弦被点(，)平分，则这条弦所在的直线方程是________．
解析：设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.
∵A，B在椭圆上，
∴＋y＝1，＋y＝1.
＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即＝－＝－，
即直线AB的斜率为－.
∴直线AB的方程为
y－＝－(x－)，
即2x＋4y－3＝0.
答案：2x＋4y－3＝0
11．(2022·郑州一模)已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则
由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，明显x1≠x2.
∴·＝3，即kMN·＝3，
∵M，N关于直线y＝x＋m对称，∴kMN＝－1，
∴y0＝－3x0，又∵y0＝x0＋m，
∴P(－，)，代入抛物线方程得
m2＝18·(－)，
解得m＝0或－8，经检验都符合．
答案：0或－8
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，)、(0，－)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.
(1)写出C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A、B两点，k为何值时⊥？
解：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为a＝2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)由
消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
Δ＝(2k)2－4×(k2＋4)×(－3)＝16(k2＋3)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由⊥，得x1x2＋y1y2＝0.
而y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＝1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝.
由＝0，得k＝±，此时⊥.
13．给出双曲线x2－＝1.
(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；
(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；
(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
所以直线斜率k＝＝4.
故求得直线方程为4x－y－7＝0.
(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，①
依据(1)的解法可得＝，
由于P1，P2，P，A四点共线．
得＝.②
由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y＝0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝0.
(3)假设满足题设条件的直线m存在，依据(1)的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.
考虑到方程组无解，
因此满足题设条件的直线m是不存在的．
14．(2022·临沂一模)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|＝|DM|，点P在圆上运动．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)过定点C(－1,0)的直线与点M的轨迹交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使·为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0＝x，y0＝y.
∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4.
∴x2＋2y2＝4，即＋＝1.
点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．
(2)假设存在．当直线AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，
联立方程组
整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴·＝(x1－n，y1)·(x2－n，y2)
＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2
＝(1＋k2)×＋(k2－n)×＋k2＋n2
＝＋n2
＝＋n2
＝(2n2＋4n－1)－.
∵·是与k无关的常数，
∴2n＋＝0.
∴n＝－，即N(－，0)，此时·＝－.
当直线AB与x轴垂直时，若n＝－，
则·＝－.
综上所述，在x轴上存在定点N(－，0)，使·为常数．
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