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20222021学年度上学期高三班级期中考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设集合，则“且”成立的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
2、已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C．或2 D．或
3、已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4、一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不行能是该锥体的俯视图的是（ ）
A B C D
5、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6、假如把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的外形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度打算
7、如图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，开头输液时，滴
管内匀速滴下液体（滴管内液体忽视不计），设输液开头后分钟，瓶内
液面与进气管的距离为厘米，已知当时，，假如瓶内的药
液恰好156分钟滴完，则函数的图象为（ ）
8、已知直线与圆交于不同的两点是坐标点，
且有，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9、函数，在上的最大值为2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、抛物线的弦与过弦的断点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些好玩的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的断点的来两条切线的交点在其准线上，设抛物线，弦过焦点，且其阿基米德三角形，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11、四周体的四个顶点都在球的表面上，平面是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12、若定义在R上的函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
13、已知，则
14、已知是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，若，则的离心率是
15、设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，
则的最小值为
16、在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在点M，使，则圆心的横坐标的取值范围为
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
如图，在中，边上的中线长为3，且，,
(1)求的值； （2）求边的长。
18、（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为菱形，是的中点
（1）若，求证：平面平面；
（2）若平面平面，且，
在线段上是否存在点，使二面角的大小为，
若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由。
19、（本小题满分12分）
设不等式组所表示的平面区域，记内整点的个数为（横纵坐标均为整数的点称为整点）。
（1）式，先在平面直角坐标系中做出平面区域，在求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）记数列的前n项和为，试证明：对任意，恒有
成立。
20、（本小题满分12分）
已知定圆，动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为
（1）求轨迹的方程；
（2）设点在上运动，与关于原点对称，且，当的面积最小时，求直线的方程。
21、（本小题满分12分）
已知函数，在处的切线与直线垂直，函数
（1）求实数的值；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值。
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分）
如图，点A是线段BC为直径的圆上一点，于点D，过点B作圆的切线与CA的延长线交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P。
（1）求证：
（2）求证：PA是圆的切线。
23、（本小题满分10分）
已知函数
（1）解不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
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