资源描述
第4课时 排 列
1.理解排列、排列数的概念,把握排列数公式的推导,从中体会“化归”的数学思想.
2.能用“树型图”写出一个排列中全部的排列;能用排列数公式计算.
5月1日,小王、小刘、小赵等6名同学与李老师一起外出郊游.在游兴正浓之际,小王提议大家一起合影,把奇特的山水风景与老师、同学的身影一起发给班里的每一位同学.大家齐声叫好,并全都提议李老师排中间.小王说:“我与老师排在一起.”小刘说:“我不与小王排在一起.”而小赵说:“我要与小刘排在一起.”其他三位同学说:“我们任凭.”于是,大家排了队,合了影,兴奋极了.在回学校的路上,李老师提了一个问题:“我们7个人排队,刚才大家提出了各自的要求,那么,符合你们这些要求的排法共有多少种呢?”
你能帮他们计算一下吗?
问题1:排列的概念
从n个 元素中,任取m(m≤n)个元素,依据 排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的 .
说明:(1)排列的定义包括两个方面:
①取出元素,②按肯定的挨次排列.
(2)两个排列相同的条件:
①元素完全相同,②元素的排列挨次也相同.
问题2:排列数的定义
从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的 的个数叫作从n个元素中取出m个元素的 ,用符号 表示.
问题3:排列数公式及其推导
由An2的意义:假定有排好挨次的2个空位,从n个元素a1,a2,…,an中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,全部不同的填法的种数就是排列数An2.由分步计数原理完成上述填空共有 种填法,所以An2= .
由此,求An3可以按依次填3个空位来考虑,∴An3= ,求Anm以按依次填m个空位来考虑Anm= ,得排列数公式如下:Anm= (m,n∈N+,m≤n).
问题4:阶乘的概念
n个不同元素全部取出的一个排列,叫作n个不同元素的一个 ,这时Ann= .把正整数1到n的连乘积,叫作 ,表示 ,即Ann= ,规定: .
1.89×90×91×92×…×100可表示为( ).
A.A10010 B.A10011 C.A10012 D.A10013
2.甲、乙、丙、丁四人轮番读同一本书,则甲首先读的支配方法种数为( ).
A.24 B.12 C.6 D.3
3.若Anm=17×16×15×…×5×4,则n= ,m= .
4.从2,3,5,7,11这五个数字中,任取2个数字组成分数,不同值的分数共有多少个?
无限制条件的排列问题
有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)选其中5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人.
有限制条件的排列问题
有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?
(1)甲不在中间也不在两端;
(2)甲、乙两人必需排在两端;
(3)男女相间.
利用排列数公式进行计算、化简或解方程
解方程:3Ax3=2Ax+12+6Ax2.
6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是 .
把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的挨次排列成一个数列.
(1)43251是这个数列的第几项?
(2)这个数列的第97项是多少?
解方程:3A8x=4A9x-1.
1.四支足球队进行主客场制的足球竞赛,竞赛的总场次为( ).
A.6 B.12 C.16 D.24
2.在数字1,2,3与符号“+”,“-”五个元素的全部全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是( ).
A.6 B.12 C.18 D.24
3.有8人排成一排,甲、乙必需分别紧靠站在丙的两旁,排法共有 种.
4.有5个人并排站成一排,假如甲必需在乙的右边,则不同的排法有多少种?
(2021年·山东卷)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ).
A.243 B.252 C.261 D.279
考题变式(我来改编):
第4课时 排 列
学问体系梳理
问题1:不同 肯定的挨次 一个排列
问题2:全部排列 排列数 Anm
问题3:n(n-1) n(n-1) n(n-1)(n-2) n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1) n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1)
问题4:全排列 n·(n-1)· (n-2) · (n-3) ·…·2·1 n的阶乘 n! n! 0!=1
基础学习沟通
1.C 由题意知n=100,∴100-m+1=89,∴m=12.
2.C 甲在首位,相当于乙、丙、丁全排,即3!=3×2×1=6.
3.17 14 由题易知n=17,又∵4=17-m+1,∴m=14.
4.解:由于从2,3,5,7,11这五个数字中,任取2个数字组成分数,分数的值各不相同,所以不同值的分数的个数等于从这五个数字中任取2个数字的排列数A52=5×4=20.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)从7个人中选5个人来排列,有A75=7×6×5×4×3=2520种.
(2)分两步完成,先选3人排在前排,有A73种方法;余下4人排在后排,有A44种方法,故共有A73·A44=5040种.事实上,本小题即为7人排成一排的全排列A77=5040种,属于无任何限制条件的排列问题.
【小结】对于无限制条件的排列问题,常用直接法,即把符合条件的排列数直接列式计算.
探究二:【解析】(1)(法一)(元素分析法)
先排甲有6种,其余有A88种,
故共有6·A88=241920种排法.
(法二)(位置分析法)
中间和两端有A83种排法,包括甲在内的其余6人有A66种排法,故共有A83·A66=336×720=241920种排法.
(法三)(等机会法)
9个人的全排列数有A99种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不在中间及两端的排法总数是A99×69=241920(种).
(法四)(间接法)
A99-3·A88=6A88=241920种.
(2)先排甲、乙,再排其余7人,
共有A22·A77=10080种排法.
(3)(插空法)
先排4名男生有A44种方法,再将5名女生插空,有A55种方法,故共有A44·A55=2880种排法.
【小结】本题集排列多种类型于一题,充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排解法)、等机会法、插空法等常见的解题思路.
探究三:【解析】由排列数公式得:3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),
∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x2-17x+10=0,
解得x=5或x=23,∴原方程的解为x=5或x=23;
[问题]上述解法正确吗?
[结论]不正确,应用Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!时,要留意隐含条件m,n∈N+且m≤n,于是正确解法如下:
由排列数公式得:3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),
∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x2-17x+10=0,
解得x=5或x=23,∵x≥3,且x∈N+,∴原方程的解为x=5.
【小结】(1)解含排列数的方程和不等式时要留意排列数Anm中,m,n∈N+且m≤n这些限制条件,要留意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围.
(2)公式Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)常用来求值,特殊是m,n均为已知时,公式Anm=n!(n-m)!常用来证明或化简.
思维拓展应用
应用一:720 前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共A66=720种.
应用二:(1)不大于43251的五位数有A55-(A44+A33+A22)=88个,即为此数列的第88项.
(2)此数列共有120项,而以5开头的五位数恰好有A44=24个,所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项,即51234.
应用三:∵3·8!(8-x)!=4·9!(10-x)!,x≤8,且x∈N+,x-1>0,x-1≤9,∴x2-19x+78=0,1<x≤8,
∴x=6或x=13(舍去).
即原方程的解为x=6.
基础智能检测
1.B 相当于从4支球队中选出2支球队的排列,共有A42=12场竞赛.
2.B 先排列1,2,3,有A33=6种排法,再将“+”,“-”两个符号插入,有A22=2种方法,共有12种方法,故选B.
3.1440 把甲、乙、丙先排好,有A22种排法,把这三个人“捆绑”在一起看成是一个,与其余5个人相当于6个人排成一排,有A66种排法,所以一共有A22A66=1440种排法.
4.解:∵总的排法数为A55=120种,∴甲在乙的右边的排法数为12A55=60种.
全新视角拓展
B 不重复的三位数有:A93+A21A92=648个.
则有重复数字的三位数有:900-648=252个,故选B.
思维导图构建
特殊元素 特殊的位置 “捆绑法” “插空法” “直接法” “排解法”
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