2021高中数学北师大版选修2-3学案：《二项式定理》.docx

第9课时　二项式定理

1.理解并把握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项开放式有关的简洁问题.
3.培育同学的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发觉和制造历程,体会数学语言的简洁和严谨.

先看下面的问题:
二项式定理争辩的是(a+b)n的开放式,如:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=?,(a+b)4=?,(a+b)100=?,那么(a+b)n的开放式是什么?这就是本节课我们将要学习的内容.

问题1:(1)二项式定理:(a+b)n=　　　　　　　　　　　　　　(n∈N+).  
(2)Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn-1+Cnn=　　　　　　(n∈N+). 
问题2:二项开放式的通项和二项式系数
在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b)n的二项开放式,开放式的第r+1项为　　　　　　　(r=0,1,2…n),其中的系数Cnr(r=0,1,2…n)叫作　　　　　　　　. 
问题3:使用二项开放式的通项要留意的问题
①通项Tr+1是第　　　　项,不是第r项; 
②通项Tr+1的作用:处理与　　　　、　　　　、　　　　、　　　　等有关的问题. 
③二项开放式中二项式系数与开放项的系数是不同的概念.
如:(a+2b)3=C30a3+C31a2·(2b)+C32a·(2b)2+C33(2b)3=a3+6a2b+12ab2+8b3,第三项的二项式系数为　　　　　　,第三项的系数为　　　　　　. 
问题4:使用二项式定理需要留意的问题
二项式定理开放式中的a和b的位置不能颠倒,且包括a,b前面的　　　　　,而且a的次数渐渐　　　　　,b的次数渐渐　　　　　,每一项的次数都为　　　　　. 

1.(a+1a)6的开放式的第3项是(　　).
A.151a2　　　　 B.20a-32　 C.15　　　　 D.201a2
2.(x-2y)10的开放式中第5项的系数是(　　).
A.840　 B.-840　 C.210　 D.-210
3.(x+1x)10的开放式中第四项为　　　　. 
4.已知(14+2x)n的开放式中前三项的二项式系数的和等于37,求开放式中的第5项的系数.

二项式定理的开放式
求(4a-12b)5的开放式.

求二项开放式的某项的系数
(x-1x)8开放式中x5的系数为　　　　. 

求二项开放式的项
(53+75)24的开放式中的整数项是(　　).
A.第12项　　 B.第13项　 C.第14项　 D.第15项

求(2x-12x)5的开放式.

二项式(x+124x)n (n∈N+)的开放式中,前三项的系数依次成等差数列,则此开放式是否存在x?若存在,求出该项的系数和二项式系数.

已知(x-2x2)n的开放式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3,求开放式的常数项.

1.(3x13-x12)5开放式中x2项的系数是(　　).
A.-270　　 B.270　 C.-90　 D.90
2.若(ax-1)5的开放式中x3的系数是80,则实数a的值是(　　).
A.-2 B.22 C.34 D.2
3.设x6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5+a6(x-1)6,则a3=　　　　. 
4.设常数m>0,(mx2+1x)4的开放式中x3的系数为32,求m的值.

　　(2021年·辽宁卷)使得(3x+1xx)n(n∈N+)的开放式中含有常数项的最小的n为(　　).
A.4　　 B.5　　 C.6　　 D.7

　　考题变式(我来改编):

二项式定理二项式定理—(a+b)n=Cn0anb0+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+…+Cnran-rbr+…+Cnna0bn通项公式—Tr+1=Cnran-rbr(r=0,1,2,…,n)二项式系数—Cnr某一项的系数

第9课时　二项式定理
学问体系梳理
问题1:(1)Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnn-1abn-1+Cnnbn　(2)2n
问题2:Tr+1=Cnran-rbr　二项式系数
问题3:①r+1　②指定项　特定项　常数项　有理项　③C32=3　12
问题4:符号　降低　上升　n
基础学习沟通
1.C　T3=C62(a)4(1a)2=15,故选C.
2.A　在通项公式Tr+1=C10r(-2y)rx10-r中令r=4,即得(x-2y)10的开放式中x6y4项的系数为C104(-2)4=840,故选A.
3.120x　T4=C103(x)7(1x)3=120x.
4.解:由Cn0+Cn1+Cn2=37得1+n+12n(n-1)=37,得n=8.
又∵T5=C84144(2x)4=358x4,∴该项的系数为358.
重点难点探究
探究一:【解析】(4a-12b)5=C50(4a)5+C51(4a)4(-12b)1+C52(4a)3(-12b)2+C53(4a)2(-12b)3+C54(4a)1(-12b)4+C55(-12b)5=(4a)5-52×(4a)4b+52×(4a)3b2-54×(4a)2b3+516×4ab4-132b5=1024a5-640a4b+160a3b2-20a2b3+54ab4-132b5.
【小结】娴熟把握二项式定理,弄清开放式中a,b的值分别是什么,包括前面的符号.
　　探究二:【解析】通项公式Tr+1=C8rx8-r(-1x)r=(-1)rC8rx8-32r,由题意得8-32r=5,则r=2,故所求x5的系数为(-1)2C82=28.
【答案】28
【小结】常用二项开放式的通项公式求二项开放式中某特定项的系数.
　　探究三:【解析】Tr+1=C24r(53)24-r(75)r=C24r×324-r5×5r7,经检验,r=14,即第14项为整数项.
[问题]上述解法有错误吗?
[结论]通项公式中的项数是第r+1项,而不是第r项.
故第15项为整数项.
【答案】D
【小结】留意二项开放式的通项公式中Tr+1=Cnran-rbr是开放式中的第r+1项,而不是第r项.
思维拓展应用
应用一:(2x-12x)5=C50(2x)5+C51(2x)4(-12x)1+C52(2x)3(-12x)2+C53(2x)2(-12x)3+C54(2x)1(-12x)4+C55(-12x)5=32x5-80x4×12x+40x2-102x+52x-2x8x3=32x5-402x72+40x2-102x12+52x-1-28x-52.
　　应用二:Tr+1=(12)rCnrx2n-3r4,令r=0,1,2得前3项的系数为1,n2,n(n-1)8,
所以n=1+n(n-1)8,解得n=1(舍去),n=8,
所以Tr+1=(12)rC8rx16-3r4 ,令16-3r4=1,得r=4,
所以T5=(12)4C84x=358x,C84=70,
故开放式中的第5项是x项,系数为358,二项式系数为70.
　　应用三:依题意Cn4∶Cn2=14∶3⇒3Cn4=14Cn2,
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)4!=14n(n-1)2!,∴n=10.
设第r+1项为常数项,又Tr+1=C10r(x)10-r(-2x2)r=(-2)rC10rx10-5r2.
令10-5r2=0⇒r=2,
∴T2+1=C102(-2)2=180,故所求常数项为180.
基础智能检测
1.B　Tr+1=35-r(-1)rC5rx10+r6,令10+r6=2得r=2,所以T3=270x2,故选B.
2.D　Tr+1=C5r(ax)5-r·(-1)r=(-1)r·a5-r·C5r·x5-r,由5-r=3,得r=2,所以a3C52=80⇒a=2,选D.
3.20　x6=[1+(x-1)]6,故a3=C63=20.
4.解:Tr+1=C4rm4-rx8-2rx-12r,由x8-2rx-12r=x3,得r=2,由C4rm4-r=32,得m2=14,m=±12.又由于m>0,所以m=12.
全新视角拓展
B　开放式的通项公式Tr+1=Cnr(3x)n-r(1xx)r,
∴Tr+1=3n-rCnrxn-52r,r=0,1,2,…,n.
令n-52r=0,n=52r,故最小正整数n=5,故选B.