资源描述
第6课时 组 合
1.理解组合、组合数的概念,能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简洁的组合问题.
2.了解排列与组合间的联系与区分,会推断一个计数问题是排列问题还是组合问题.
3.了解组合数的两共性质,并应用性质进行有关组合式子的运算和实际应用.
某次团代会,要从5名候选人a,b,c,d,e中选出3人担当代表,共有多少种方案?
问题1:(1)上述情境中的问题是不是排列问题?若不是排列问题该怎么解决?
不是排列问题,由于排列问题是有序的,而情境中的取出的三个元素是无序的,解决方法是去掉相同元素间的排列情形,由于三个元素间的排序为A33,所以共有 种方案.
(2)组合的定义:从n个 元素中取出m(m≤n)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个 .
(3)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的 ,用Cnm表示.
问题2:排列与组合有什么联系和区分?
排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素,不同之处是组合选出的元素 ,而排列选出的元素是 的.
问题3:组合数的计算公式
Cnm= .
由于0!= ,所以Cn0= .
问题4:组合数的两共性质
性质1:Cnm= .
性质2:Cn+1m= .
1.C5048的值是( ).
A.48 B.49 C.1225 D.2450
2.从1,2,3,4,5中取出两个数字组成一个集合,则这样的集合的个数为( ).
A.5 B.10 C.15 D.20
3.若Cn13=Cn7,则Cn18= .
4.有2个a,3个b,4个c共9个字母排成一排,共有多少种排法?
排列、组合概念的理解
推断下列各大事是排列问题,还是组合问题.
(1)10个人相互各写一封信,共写了多少封信?
(2)10个人规定相互通一次电话,共通了多少次电话?
(3)10支球队以单循环进行竞赛(每两队竞赛一次),这次竞赛需要进行多少场次?
(4)10支球队以单循环进行竞赛,这次竞赛的冠亚军获得者有多少种可能?
组合数公式的应用
求C3n38-n+Cn+213n的值.
组合问题的应用
现有10名老师,其中男老师6名,女老师4名.
(1)现要从中选出2名去参与会议,有多少种不同的选法?
(2)现要从中选出男、女老师各2名去参与会议,有多少种不同的选法?
推断下列各大事是排列问题,还是组合问题.
(1)从50个人中选3个人去参与同一种劳动,有多少种不同的选法?
(2)从50个人中选3个人到三个学校参与毕业典礼,有多少种选法?
(3)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个?
(4)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和共有多少个?
(1)计算C2118-C2021= ;
(2)若Cn4>Cn6,则n的取值集合为 .
要从12人中选出5人去参与一项活动.
(1)A,B,C 3人必需入选有多少种不同选法?
(2)A,B,C 3人都不能入选有多少种不同选法?
(3)A,B,C 3人只有1人入选有多少种不同选法?
1.假如Am3=6Cm4,则m等于( ).
A.6 B.7 C.8 D.9
2.给出下列问题:
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参与某两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法?
②有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法?
③某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种?
其中是组合问题的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
3.C22+C32+C42+…+C102= .
4.某校开设9门课程供同学选修,其中A、B、C三门由于上课时间相同,至多选1门,学校规定每位同学选修4门,共有多少种不同选修方案?(用数字作答)
(2022年·大纲卷)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ).
A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
考题变式(我来改编):
组合组合的概念—一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的 组合数的概念—从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ,叫作从n个不同元素中取出m个元素的 ,用符号 表示组合数的计算公式— 组合数的两共性质① ②
第6课时 组 合
学问体系梳理
问题1:(1)A53A33=10 (2)不同 组合 (3)全部组合 组合数
问题2:没有挨次 有挨次
问题3:AnmAmm=n!m!·(n-m)!=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m! 1 1
问题4:Cnn-m Cnm+Cnm-1
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1.C C5048=C5050-48=C502=50×492=1225,选C.
2.B 由于集合的元素是无序的,所以该问题是组合问题,由C52=10知B正确.
3.190 ∵Cn13=Cn7,∴13=n-7,∴n=20,
∴C2022=C202=190.
4.解:由于相同字母间无区分,所以排法取决于9个位置中哪几个排a,哪几个排b,剩下的再排c,故共有C92C73C44=1260种不同的排法.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)是排列问题,由于发信人与收信人是有挨次区分的.
(2)是组合问题,由于甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话,没有挨次的区分.
(3)是组合问题,由于每两个队竞赛一次,并不需要考虑谁先谁后,没有挨次的区分.
(4)是排列问题,由于甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的,是有挨次区分的.
【小结】推断一个问题是排列问题还是组合问题的关键是正确区分大事有无挨次,区分有无挨次的方法是:把问题的一个选择结果解出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否产生新的变化.
探究二:【解析】∵0≤38-n≤3n,0≤3n≤21+n,
∴192≤n≤38,0≤n≤212,
∴192≤n≤212.又∵n∈N+,∴n=10.
∴C3n38-n+C21+n3n=C3028+C3130=C302+C311
=30×292×1+31=466.
【小结】解含有组合数的方程(或不等式)时,依据Cnm中m、n应满足的条件.确定未知数的取值范围,再选用组合数公式的某种形式构建关于未知数的常见方程求解.
探究三:【解析】(1)从10名老师中选2名去参与会议的选法数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即C102=10×92×1=45种.
(2)从6名男老师中选2名的选法有C62种,从4名女老师中选2名的选法有C42种,
依据分步乘法计数原理,因此共有不同的选法C62·C42=6×52×1×4×32×1=90种.
【小结】对组合数公式意义的理解是应用的前提,应用组合数公式求解应用问题要正确分类和分步.
思维拓展应用
应用一:(1)(2)都是选出3人,但参与同一劳动没有挨次,而到三个学校参与毕业典礼却有挨次,故(1)是组合问题,(2)是排列问题.
(3)当取出3个数字后,假如转变三个数字的挨次,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的支配挨次有关,是排列问题.
(4)取出3个数字之后,无论怎样转变这三个数字之间的挨次,其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的支配挨次无关,是组合问题.
应用二:(1)190 (2){6,7,8,9} (1)(法一)C2118-C2021=C213-C203=21×20×193×2×1-20×19×183×2×1=20×192=190.
(法二)C2118-C2021=(C2022+C2021)-C2021=C2022=C202=20×192×1=190.
(2)由于Cn4>Cn6,
所以Cn4>Cn6,n≥6⇒n!4!(n-4)!>n!6!(n-6)!,n≥6⇒n2-9n-10<0,n≥6⇒-1<n<10,n≥6.
由于n∈N+,所以n=6,7,8,9,所以n的取值集合为{6,7,8,9}.
应用三:(1)只需从A,B,C之外的9人中选择2人,C92=36种不同选法.
(2)由A,B,C三人都不能入选,知只需从余下9人中选择5人,即有C95=C94=126种选法.
(3)可分两步,先从A,B,C三人中选出1人,有C31种选法,再从余下的9人中选4人,有C94种选法,所以共有C31·C94=378种选法.
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1.B 由于Am3=m(m-1)(m-2),6Cm4=6m(m-1)(m-2)(m-3)1×2×3×4,且m≥4,m∈N+,所以由Am3=6Cm4得m-34=1,解得m=7.
2.C 由于是到两个乡镇调查,所以①是排列问题;②是组合问题;射击命中的4枪之间没有挨次之分,所以③是组合问题.
3.165 原式=C33+C32+C42+…+C102=C43+C42+…+C102=C53+C52+…+C102=C113=165.
4.解:每位同学选修4门,可分为两类不同的选取方式.
其一为从A、B、C中选一门,再从其余的六门中选三门,共有C31·C63=60种;
其二为从其余的六门中选四门,共有C64=15种.
所以共有75种不同的选修方案.
全新视角拓展
C 分两步选取:第一步,从6名男医生中选出2名男医生有C62种方法;其次步,从5名女医生中选取1名女医生有C51种方法,由分步乘法计数原理得,不同的选法共有C62C51=75种方法,选C.
思维导图构建
一个组合 全部不同组合的个数 组成数 Cnm Cnm=AnmAmm=n!m!(n-m)!=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m! ①Cnm=Cnn-m ②Cn+1m=Cnm+Cnm-1
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