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开卷速查(十九) 三角函数的图像与性质
A级 基础巩固练
1．[2022·陕西]函数f(x)＝cos的最小正周期是( )
A. B．π C．2π D．4π
解析：∵T＝＝π，∴B正确．
答案：B
2．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于( )
A．2或0 B.－2或2
C．0 D.－2或0
解析：由f＝f知，函数图像关于x＝对称，f是函数f(x)的最大值或最小值．
答案：B
3．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图像的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asinx＋cosx的最大值是( )
A. B. C. D.
解析：由题意得f(0)＝f，∴a＝－－.
∴a＝－.
g(x)＝－sinx＋cosx＝sin.
∴g(x)max＝.
答案：B
4．已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.(0,2]
解析：由＜x＜π，得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知⊆
(k∈Z)且≥2×，
则且0＜ω≤2，
故≤ω≤，故选A.
答案：A
5．[2022·湖南]已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且
f(x)dx＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( )
A．x＝ B.x＝
C．x＝ D.x＝
解析：由定积分sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ) ＝cosφ－sinφ＋cosφ＝0，得tanφ＝，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin(k∈Z)，由正弦函数的性质知y＝sin与y＝sin的图像的对称轴相同，令x－＝kπ＋，则x＝kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的图像的对称轴为x＝kπ＋π(k∈Z)，当k＝0，得x＝，选A.
答案：A
6．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0且|φ|＜)在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y轴交点的纵坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：函数y＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知－＝为半周期，则周期为π，ω＝＝＝2，此时原函数式为y＝sin(2x＋φ)，又由函数y＝sin(ωx＋φ)的图像过点，代入可得φ＝，因此函数为y＝sin，令x＝0，可得y＝，故选A.
答案：A
7．[2022·大纲全国]若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间是减函数，则a的取值范围是________．
解析：f(x)＝cos2x＋asinx＝1－2sin2x＋asinx.
令t＝sinx，∵x∈，∴t∈，
∴g(t)＝1－2t2＋at＝－2t2＋at＋1，
由题意知－≤，
∴a≤2，∴a的取值范围为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
8．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图像的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是__________．
解析：由两三角函数图像的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，那么当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，故f(x)∈.
答案：
9．[2022·北京]设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为__________．
解析：∵f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的极值点，其极值应当在x＝＝处取得，
∵f＝－f，∴x＝也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，
∴x＝－＝为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.
答案：π
10．[2022·福建]已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.
(1)若0<α<，且sinα＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解析：方法一 (1)由于0<α<，sinα＝，
所以cosα＝.
所以f(α)＝－＝.
(2)由于f(x)＝sinxcosx＋cos2x－
＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
方法二 f(x)＝sinxcosx＋cos2x－
＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x
＝sin.
(1)由于0<α<，sinα＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
B级 力气提升练
11．函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为( )
A．－ B.－
C. D.
解析：函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位得y＝sin＝sin，又其为奇函数，则＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z.又|φ|＜，令k＝0，得φ＝－，
∴f(x)＝sin.
又∵x∈，∴sin∈，
即当x＝0时，f(x)min＝－，故选A.
答案：A
12．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f|对x∈R恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：依据条件，函数在x＝时取到最值，代入，得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.所以φ＝kπ＋，k∈Z.又f＞f(π)，有sinφ＜0，可以取φ＝－π，此时函数为f(x)＝sin，解不等式2kπ－≤2x－π≤2kπ＋，k∈Z，得(k∈Z)为函数的单调递增区间．
答案：C
13．[2022·天津]已知函数f(x)＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
解析：(1)由已知，有
f(x)＝cosx·－cos2x＋
＝sinx·cosx－cos2x＋
＝sin2x－(1＋cos2x)＋
＝sin2x－cos2x＝sin.
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由于f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数．
f＝－，f＝－，f＝.
所以，函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
14．[2022·江西]已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.
(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
解析：(1)f(x)＝sin＋cos
＝(sinx＋cosx)－sinx＝cosx－sinx
＝sin，
由于x∈[0，π]，从而－x∈，
故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.
(2)由得
又θ∈知cosθ≠0，
解得
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