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开卷速查(十九) 三角函数的图像与性质
A级 基础巩固练
1.[2022·陕西]函数f(x)=cos的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
解析:∵T==π,∴B正确.
答案:B
2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f=f,则f等于( )
A.2或0 B.-2或2
C.0 D.-2或0
解析:由f=f知,函数图像关于x=对称,f是函数f(x)的最大值或最小值.
答案:B
3.已知函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是( )
A. B. C. D.
解析:由题意得f(0)=f,∴a=--.
∴a=-.
g(x)=-sinx+cosx=sin.
∴g(x)max=.
答案:B
4.已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.(0,2]
解析:由<x<π,得ω+<ωx+<πω+,由题意知⊆
(k∈Z)且≥2×,
则且0<ω≤2,
故≤ω≤,故选A.
答案:A
5.[2022·湖南]已知函数f(x)=sin(x-φ),且
f(x)dx=0,则函数f(x)的图像的一条对称轴是( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
解析:由定积分sin(x-φ)dx=-cos(x-φ) =cosφ-sinφ+cosφ=0,得tanφ=,所以φ=+kπ(k∈Z),所以f(x)=sin(k∈Z),由正弦函数的性质知y=sin与y=sin的图像的对称轴相同,令x-=kπ+,则x=kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的图像的对称轴为x=kπ+π(k∈Z),当k=0,得x=,选A.
答案:A
6.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0且|φ|<)在区间上单调递减,且函数值从1减小到-1,那么此函数图像与y轴交点的纵坐标为( )
A. B.
C. D.
解析:函数y=sin(ωx+φ)的最大值为1,最小值为-1,由该函数在区间上单调递减,且函数值从1减小到-1,可知-=为半周期,则周期为π,ω===2,此时原函数式为y=sin(2x+φ),又由函数y=sin(ωx+φ)的图像过点,代入可得φ=,因此函数为y=sin,令x=0,可得y=,故选A.
答案:A
7.[2022·大纲全国]若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,则a的取值范围是________.
解析:f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx.
令t=sinx,∵x∈,∴t∈,
∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1,
由题意知-≤,
∴a≤2,∴a的取值范围为(-∞,2].
答案:(-∞,2]
8.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图像的对称中心完全相同,若x∈,则f(x)的取值范围是__________.
解析:由两三角函数图像的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω=2,所以f(x)=3sin,那么当x∈时,-≤2x-≤,所以-≤sin≤1,故f(x)∈.
答案:
9.[2022·北京]设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为__________.
解析:∵f(x)在区间上具有单调性,且f=f,∴x=和x=均不是f(x)的极值点,其极值应当在x==处取得,
∵f=-f,∴x=也不是函数f(x)的极值点,又f(x)在区间上具有单调性,
∴x=-=为f(x)的另一个相邻的极值点,故函数f(x)的最小正周期T=2×=π.
答案:π
10.[2022·福建]已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.
(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解析:方法一 (1)由于0<α<,sinα=,
所以cosα=.
所以f(α)=-=.
(2)由于f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin,
所以T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得
kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
方法二 f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin.
(1)由于0<α<,sinα=,所以α=,
从而f(α)=sin=sin=.
(2)T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得
kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
B级 力气提升练
11.函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位后关于原点对称,则函数f(x)在上的最小值为( )
A.- B.-
C. D.
解析:函数f(x)=sin(2x+φ)向左平移个单位得y=sin=sin,又其为奇函数,则+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z.又|φ|<,令k=0,得φ=-,
∴f(x)=sin.
又∵x∈,∴sin∈,
即当x=0时,f(x)min=-,故选A.
答案:A
12.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f|对x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析:依据条件,函数在x=时取到最值,代入,得2×+φ=kπ+,k∈Z.所以φ=kπ+,k∈Z.又f>f(π),有sinφ<0,可以取φ=-π,此时函数为f(x)=sin,解不等式2kπ-≤2x-π≤2kπ+,k∈Z,得(k∈Z)为函数的单调递增区间.
答案:C
13.[2022·天津]已知函数f(x)=cosx·sin-cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
解析:(1)由已知,有
f(x)=cosx·-cos2x+
=sinx·cosx-cos2x+
=sin2x-(1+cos2x)+
=sin2x-cos2x=sin.
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)由于f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数.
f=-,f=-,f=.
所以,函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.
14.[2022·江西]已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.
(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;
(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.
解析:(1)f(x)=sin+cos
=(sinx+cosx)-sinx=cosx-sinx
=sin,
由于x∈[0,π],从而-x∈,
故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1.
(2)由得
又θ∈知cosθ≠0,
解得
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