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第5讲 古典概型
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·江西卷)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是
( )
A. B. C. D.
解析 从A、B中任意取一个数，共有6种情形，两数和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)两种，∴P＝＝.
答案 C
2．有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为
( )
A. B. C. D.
解析 甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9种状况，甲、乙两人参与同一爱好小组共有3种状况，∴甲、乙两人参与同一爱好小组的概率P＝＝，故选A.
答案 A
3．(2021·安徽卷)若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为
( )
A. B. C. D.
解析 设大事“甲或乙被录用”为大事A，则表示“甲、乙都没被录用”，由古典概型，P()＝＝，∴P(A)＝1－＝.
答案 D
4．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是
( )
A. B. C. D.
解析 ∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.
基本大事总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．
∴P＝＝，故选A.
答案 A
5．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是
( )
A. B. C. D.
解析 第一步先排语文书有A＝2(种)排法．其次步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A＝120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是＝.
答案 B
二、填空题
6．(2022·江苏卷)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．
解析 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种状况．
满足条件的有(2,3)，(1,6)，共2种状况．故P＝＝.
答案
7．(2022·广东卷)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
解析 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数有C种选法．要使抽取的七个数的中位数是6，则6,7,8,9必需取，再从0,1,2,3,4,5中任取3个，有C种选法，故概率为＝.
答案
8．(2022·江西卷)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
解析 从10件产品中任取4件共C种取法，取出的4件产品中恰有一件次品，有CC种取法，则所求概率P＝＝.
答案
三、解答题
9．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个小球，每个小球被取出的可能性相等．
(1)求取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率；
(2)求取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率．
解 法一 利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的全部可能结果：
可以看出，试验的全部可能结果数为16种．
(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1—2，2—1，2—3,3—2,3—4,4—3，共6种，
故所求概率P＝＝.
(2)所取两个小球上的标号之和能被3整除的结果有1—2，2—1,2—4,3—3,4—2，共5种．
故所求概率P＝.
法二 设从甲、乙两个盒子中各取1个小球，其标号分别记为x、y，用(x，y)表示抽取结果，则全部可能有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种．
(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6种．故所求概率P＝＝.
(2)所取两个小球上的标号和能被3整除的结果有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，共5种．故所求概率P＝.
10．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解 (1)从5张卡片中任取两张，共有n＝C＝10种方法．记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为大事A，则A包含基本大事m＝CC－1＝3个．
由古典概型概率公式，P(A)＝＝.
(2)从6张卡片中任取两张，共有n＝C＝15个基本大事，记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为大事B，则大事B包含基本大事总数m＝C(C＋C)＋(CC－1)＝8，∴所求大事的概率P(B)＝＝.
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11．(2021·东北八校二模)甲、乙两人玩猜数字玩耍，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个玩耍，则他们“心有灵犀”的概率为
( )
A. B. C. D.
解析 任意找两人玩这个玩耍，共有6×6＝36种猜数字结果，其中满足|a－b|≤1的有如下情形：
①若a＝1，则b＝1,2；②若a＝2，则b＝1,2,3；③若a＝3，则b＝2,3,4；④若a＝4，则b＝3,4,5；⑤若a＝5，则b＝4,5,6；⑥若a＝6，则b＝5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.
答案 D
12．(2022·济南质检)三位同学参与跳高、跳远、铅球项目的竞赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是
( )
A. B. C. D.
解析 三位同学每人选择三项中的两项有CCC＝3×3×3＝27种选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有CCC＝3×3×2＝18(种)选法．∴所求概率为P＝＝.
答案 A
13．某艺校在一天的6节课中随机支配语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为______(用数字作答)．
解析 法一 6节课的全排列为A种，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为(ACAA＋2AA)种，由古典概型概率公式得P(A)＝＝.
法二 6节课的全排列为A种，先排三节艺术课有A种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有A种不同方法，故由古典概型概率公式得P(A)＝＝.
答案
14．一个袋中装有四个外形大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取一个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本大事有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的大事共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求大事的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，登记编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，登记编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的大事为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，
所以满足条件n≥m＋2的大事的概率为P1＝.
故满足条件n＜m＋2的大事的概率为
1－P1＝1－＝.
15．(2021·河南三门峡4月)某校50名同学参与智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：
答对题目个数
0
1
2
3
人数
5
10
20
15
依据上表信息解答以下问题：
从50名同学中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率．
解 记“两人答对题目个数之和为4或5”为大事A，则
P(A)＝＝＝，
即两人答对题目个数之和为4或5的概率为.
16．为了解同学身高状况，某校以10%的比例对全校700名同学按性别进行分层抽样调查，测得身高状况的统计图如下：
男生
女生
(1)估量该校男生的人数；
(2)估量该校同学身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在165～180 cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170～180 cm之间的概率．
解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估量全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的同学有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，
∵样本容量为70，
∴样本中同学身高在170～185 cm之间的频率为＝0.5，
故估量该校同学身高在170～185 cm之间的概率P＝0.5.
(3)样本中女生身高在165～180 cm之间的人数为10，身高在170～180 cm之间的人数为4.
设A表示大事“从样本中身高在165～180 cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170～180 cm之间”，
则P(A)＝1－＝.
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