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补偿练3 函数与导数(二)
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一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( )．
A．y＝x2 B．y＝2|x|
C．y＝log2 D．y＝sin x
解析 函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log2＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数，综上所述，选C.
答案 C
2．曲线f(x)＝x2(x－2)＋1在点(1，f(1))处的切线方程为( )．
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
解析 ∵f(x)＝x3－2x2＋1，
∴f′(x)＝3x2－4x，
∴f′(1)＝－1，
又f(1)＝1－2＋1＝0，
∴所求切线方程为y＝－(x－1)，
即x＋y－1＝0.
答案 D
3．已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)－f(1)＝( )．
A．3 B．1－
C.－1 D．1
解析 设幂函数为f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝，即f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1.
答案 C
4．设a＝log32，b＝log23，c＝log5，则( )．
A．c＜b＜a B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
答案 C
5．已知函数f(x)＝sin x＋1，则f(lg 2)＋f(lg )＝( )．
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析 由于所以f(lg 2)＋f＝sin(lg 2)＋sin＋2，
而y＝sin x是奇函数，lg ＝－lg 2，
所以f(lg 2)＋f＝2.
答案 D
6．函数f(x)＝ax2－(a－1)x－3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )．
A. B．(－∞，0]
C. D．
解析 当a＝0时，f(x)＝x－3符合题意；当a≠0时，由题意解得0＜a≤，综上a∈.
答案 D
7．若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为
( )．
A．(－2,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2,2]
解析 依题意x2＋ax＋1≥0对x∈R恒成立，
∴Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
答案 D
8．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于( )．
A．1 B．2
C．0 D．
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，
∴≥1，得a≥2.又∵g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.
答案 B
9．下列四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(1)＝( )．
A. B．
C．－ D．1
解析 f(x)＝x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)，f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－4)，由a≠0，结合导函数y＝f′(x)，知导函数图象为③，从而可知a2－4＝0，解得a＝－2或a＝2，再结合－a＞0知a＝－2，代入可得函数f(x)＝x3＋(－2)x2＋1，可得f(1)＝－.
答案 C
10．某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )．
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
解析 设在甲地销售x辆车，则在乙地销售(15－x)辆车，获得的利润为y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30.当x＝－＝10.2时，y最大，但x∈N，所以当x＝10时，ymax＝－15＋30.6＋30＝45.6.
答案 B
11．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为( )．
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 令2sin πx－x＋1＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h(1)＝g(1)，h＞g，g(4)＝3＞2，g(－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.
答案 B
12．已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋＞0，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是( )．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 依题意，记g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，g(0)＝0，当x＞0时，g′(x)＝x＞0，g(x)是增函数，g(x)＞0；当x＜0时，g′(x)＝x[f′(x)＋]＜0，g(x)是减函数，g(x)＞0.在同一坐标系内画出函数y＝g(x)与y＝－的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是1.
答案 B
二、填空题
13．函数f(x)＝的定义域为__________．
解析 ∵1－lg (x－2)≥0，∴lg (x－2)≤1，∴0＜x－2≤10，∴2＜x≤12，∴f(x)＝的定义域为(2,12]．
答案 (2,12]
14．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝__________.
解析 由题意am＝2，an＝3，所以a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.
答案 12
15．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有微小值，则实数b的取值范围是________．
解析 f′(x)＝3x2－6b，若f(x)在(0,1)内有微小值，只需f′(0)·f′(1)＜0，即－6b·(3－6b)＜0，
解得0＜b＜.
答案 (0，)
16．设函数f(x)＝则f[f(－1)]＝________；若函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是________．
解析 f[f(－1)]＝f(4－1)＝f＝log2＝－2.令f(x)－k＝0，即f(x)＝k，设y＝f(x)，y＝k，画出图象，如图所示，函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点，由图象可得实数k的取值范围为(0,1]．
答案 －2 (0,1]
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