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课时提升作业(七十)
一、选择题
1.设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则a的值是( )
(A) (B) (C) (D)
2．在15个村庄中有7个村庄交通不便利，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不便利的村庄数，下列概率中等于的是( )
(A)P(X＝2) (B)P(X≤2)
(C)P(X＝4) (D)P(X≤4)
3.设随机变量Y的分布列为:
Y
-1
2
3
P
m
则“≤Y≤”的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
4.(2021·三明模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
(A)0 (B) (C) (D)
5．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(＜X＜)的值为( )
(A) (B) (C) (D)
6.(力气挑战题)一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于的是
( )
(A)P(ξ＝3) (B)P(ξ≥2) (C)P(ξ≤3) (D)P(ξ＝2)
二、填空题
7．设随机变量X的概率分布为
X
1
2
3
4
P
m
则P(|X－3|＝1)＝____________.
8．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝____________.
9.(2021·桂林模拟)从6名男生和2名女生中选3名志愿者，其中至多有一名女生的概率为___________.
10．随机变量η的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则①x＝___________；②P(η>3)＝__________；③P(1<η≤4)＝__________.
三、解答题
11.(2021·遵义模拟)从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设大事A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，其概率P(A)=0.96.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p.
(2)若该批产品共100件，从中无放回抽取2件产品，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数.求ξ的分布列.
12.某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成果进行统计分析，两班成果的茎叶图如图所示，成果不小于90分为及格.
(1)从每班抽取的同学中各抽取1人，求至少有1人及格的概率.
(2)从甲班10人中抽取1人，乙班10人中抽取2人，三人中及格人数记为X，求X的分布列.
13.(力气挑战题)一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
(1)若袋中共有10个球,
①求白球的个数；
②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．
(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于，并指出袋中哪种颜色的球的个数最少．
答案解析
1.【解析】选B．1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝a［＋()2＋()3］，解得a＝.
2．【解析】选C.15个村庄中，7个村庄交通不便利，8个村庄交通便利，表示选出的10个村庄中恰有4个交通不便利、6个交通便利的村庄，故P(X＝4)＝.
3.【解析】选C.∵+m+=1,∴m=,
∴P(≤Y≤)=P(Y=2)+P(Y=3)=.
4.【思路点拨】本题符合两点分布，先求出分布列，再依据分布列的性质求出概率P(X=0).
【解析】选C.设失败率为p，则成功率为2p.
∴X的分布列为：
X
0
1
P
p
2p
则“X=0”表示试验失败，“X=1”表示试验成功,
由p+2p=1得p=,即P(X=0)=.
5．【思路点拨】依据分布列的性质求解.
【解析】选D.由.
知a＝1 ∴a＝.
故P(＜X＜)＝P(X=1)＋P(X=2)＝×＋×＝.
6.【解析】选D.ξ=2，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，于是前2个拿出白球，即，再任意拿出1个黑球即可，即，而在这3次拿球中可以认为按挨次排列，此排列挨次即可认为是依次拿出的球的挨次，即.
.
7．【解析】，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
答案:
8．【解析】ξ可能取的值为0,1,2,3，
，
，
又，
∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－－－＝.
答案：
9.【解析】设所选女生为X人，则X听从超几何分布，其中N=8，则
P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.
答案：
10．【解析】由概率分布的性质可得：
0.2+x+0.35+0.1+0.15+0.2=1,解得：x=0.
明显P(η>3)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)
=0.1+0.15+0.2=0.45.
P(1<η≤4)=P(η=2)+P(η=3)+P(η=4)
=0+0.35+0.1=0.45.
答案:①0 ②0.45 ③0.45
11.【解析】(1)记A0表示大事“取出的2件产品中无二等品”，A1表示大事“取出的2件产品中恰有1件二等品”，
则A0，A1互斥，且A=A0∪A1，故P(A)=P(A0∪A1)=P(A0)+P(A1)=(1-p)2+p(1-p)
=1-p2,
即0.96=1-p2.解得p1=0.2,p2=-0.2(舍去).
故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,
该批产品共100件，由(1)知其二等品有100×0.2=20(件)，
故，，.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
【变式备选】一个袋子中装有大小外形完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球.
(1)求取出的3个球颜色相同且编号是3个连续整数的概率.
(2)求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率.
(3)记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列.
【解析】(1)设“取出的3个球颜色相同且编号是3个连续整数”为大事A，则.
答：取出的3个球的颜色相同且编号是3个连续整数的概率为.
(2)设“取出的3个球中恰有2个球编号相同”为大事B，则.
答：取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率为.
(3)X的取值为2,3,4,5.
，
，
，
.
所以X的分布列为
X
2
3
4
5
P
12.【解析】(1)甲班有4人及格，乙班有5人及格.
大事“从每班抽取的同学中各抽取1人，至少有1人及格”记作A，则
.
(2) X取值为0，1，2，3.
;
;
;
.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
13.【解析】(1)①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为大事A，设袋中白球的个数为x，则
，得x＝5或x=14(舍去).故白球有5个．
②随机变量X的取值为0,1,2,3，
；；
；.
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
(2)设袋中有n个球，其中有y个黑球，
由题意得y＝，所以2y＜n,2y≤n－1，故.
记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个黑球”为大事B，
则.
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于，故袋中红球个数最少．
【方法技巧】随机变量分布列的求法
(1)搞清随机变量每个取值对应的随机大事，思考目标大事如何用基本大事来表示，求出随机变量全部可能的值.
(2)利用对立大事和互斥大事求出取每一个值时的概率，计算必需精确无误.
(3)留意运用分布列的两条性质检验所求概率，确保正确后列出分布列.
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