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随机抽样
1.理解随机抽样的必要性和重要性．
2．会利用简洁随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样的方法．
用样本估量总体
1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．
2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算标准差．
3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．
4．会用样本的频率分布估量总体分布，会用样本的基本数字特征估量总体的基本数字特征，理解用样本估量总体的思想．
5．会用随机抽样的基本方法和样本估量总体的思想解决一些简洁的实际问题．
统计案例
1.会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图生疏变量间的相关关系．
2．了解最小二乘法的思想，能依据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
3．了解下列常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．
(1)了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简洁应用．
(2)了解假设检验的基本思想、方法及其简洁应用．
(3)了解回归分析的基本思想、方法及其简洁应用．
算法与程序框图
1.了解算法的含义，了解算法的思想．
2．理解程序框图的三种基本规律结构：挨次结构、条件结构、循环结构.
第1讲 随机抽样
1．简洁随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简洁随机抽样．
(2)常用方法：抽签法和随机数法．
2．系统抽样
(1)步骤：①先将总体的N个个体编号；
②依据样本容量n，当是整数时，取分段间隔k＝；
③在第1段用简洁随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
④依据确定的规章抽取样本．
(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时．
3．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后依据确定的比例，从各层独立地抽取确定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．
[做一做]
1．下列抽取样本的方式是简洁随机抽样的有( )
①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
②箱子里有100支铅笔，现从中选取10支进行检验，在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；
③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选A.①不满足样本的总体数较少的特点；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．
2．(2022·高考湖北卷)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，接受分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.
解析：设乙设备生产的产品总数为x件，则甲设备生产的产品总数为(4 800－x)件．由分层抽样特点，结合题意可得＝，解得x＝1 800.
答案：1 800
1．辨明两个易误点
(1)简洁随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．
(2)分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即.
2．三种抽样方法的比较
类别
各自特点
相互联系
适用范围
共同点
简洁随机抽样
从总体中逐个抽取
最基本的抽样方法
总体中的个体数较少
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
系统抽样
将总体平均分成几部分，按事先确定的规章分别在各部分中抽取
在起始部分抽样时，接受简洁随机抽样
总体中的个体数较多
分层抽样
将总体分成几层，按各层个体数之比抽取
各层抽样时接受简洁随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
[做一做]
3．(2022·高考广东卷)为了解1 000名同学的学习状况，接受系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A．50 B．40
C．25 D．20
解析：选C.依据系统抽样的特点可知分段间隔为＝25，故选C.
4．(2022·高考湖南卷)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1
C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3
解析：选D.由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.
__简洁随机抽样________________________
下面的抽样方法是简洁随机抽样的是( )
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、老师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
[解析] A、B是系统抽样，由于抽取的个体间的间隔是固定的；C是分层抽样，由于总体的个体有明显的层次；D是简洁随机抽样．
[答案] D
[规律方法] 抽签法与随机数法的适用状况
(1)抽签法适用于总体中个体数较少的状况，随机数法适用于总体中个体数较多的状况．
(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否便利；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
1.(2021·高考江西卷)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开头由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B．07
C．02 D．01
解析：选D.由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08，02，14，07，01，所以第5个个体的编号是01.
__系统抽样______________________________
999999999999999999
(2021·高考陕西卷)某单位有840名职工，现接受系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
[解析] 抽样间隔为＝20.设在1，2，…，20中抽取号码x0(x0∈[1，20])，在[481，720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*.
∴24≤k＋≤36.
∵∈[，1]，
∴k＝24，25，26，…，35，
∴k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.
[答案] B
[规律方法] 系统抽样的步骤：
(1)先将总体的N个个体编号；
(2)确定分段间隔k(k∈N*)，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
(3)在第1段用简洁随机抽样确定第1个个体编号l(l≤k)；
(4)依据确定的规章抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加上k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到猎取整个样本．
2.将参与夏令营的600名同学编号为：001，002，…，600.接受系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名同学分住在三个营区，从001到300在A营区，从301到495在B营区，从496到600在C营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26，16，8 B．25，17，8
C．25，16，9 D．24，17，9
解析：选B.依题意及系统抽样的意义可知，将这600名同学按编号依次分成50组，每一组各有12名同学，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤，因此A营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得<k≤42，因此B营区被抽中的人数是42－25＝17.结合各选项知B正确．
__分层抽样(高频考点)____________________
分层抽样是抽样方法考查的重点，也是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式毁灭，试题难度不大，多为简洁题或中档题．
高考对分层抽样的考查主要有以下三个命题角度：
(1)已知各层总数，确定抽样比；
(2)已知各层总数，某一层的样本数，求另一层样本数或总数；
(3)已知某层总数及某层的样本数，求各层样本数．
(1)(2021·抚顺模拟)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品平安检测．若接受分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
(2)(2022·高考天津卷)某高校为了解在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟接受分层抽样的方法，从该校四个班级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一班级、二班级、三班级、四班级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一班级本科生中抽取________名同学．
[解析] (1)四类食品的抽样比为＝，∴植物油类和果蔬类食品被抽到的种数之和为(10＋20)×＝6.
(2)依据题意，应从一班级本科生中抽取的人数为×300＝60.
[答案] (1)C (2)60
[规律方法] 分层抽样问题的解题策略
(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．
(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本数(或总体数)．
(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．
3.(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓状况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 016
(2)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1 000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽取30份，则在D单位抽取的问卷是________份．
解析：(1)由题意知抽样比为，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有＝，解得N＝808.
(2)由题意依次设在A，B，C，D四个单位回收的问卷数分别为a1，a2，a3，a4，在D单位抽取的问卷数为n，则有＝，解得a2＝200，又a1＋a2＋a3＋a4＝1 000，即3a2＋a4＝1 000，∴a4＝400，∴＝，解得n＝60.
答案：(1)B (2)60
,[同学用书P199～P200])
考题溯源——分层抽样
(2022·高考重庆卷)某中学有高中生3 500人，学校生1 500人，为了解同学的学习状况，用分层抽样的方法从该校同学中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A．100 B．150
C．200 D．250
[解析] 法一：由题意可得＝，解得n＝100，故选A.
法二：由题意，抽样比为＝，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×＝100.
[答案] A
[考题溯源] 本题源于人教A版必修3P100A组第2(2)题“一个公司共有N名员工，下设一些部门，要接受等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n的样本，已知某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________”，对题中m，n赐予赋值．
1.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝( )
A．54 B．90
C．45 D．126
解析：选B.依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.
2．调查某高中1 000名同学的身高状况得下表，已知从这批同学中随机抽取1名同学，抽到偏矮男生的概率为0.12，若用分层抽样的方法，从这批同学中随机抽取50名，则应在偏高同学中抽________名．
偏矮
正常
偏高
女生/人
100
273
y
男生/人
x
287
z
解析：由题意可知x＝1 000×0.12＝120，
所以y＋z＝220.
所以偏高同学占同学总数的比例为＝，
所以抽取50名应抽偏高同学50×＝11(名)．
答案：11
1．利用简洁随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.总体个数为N，样本容量为M，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝，故选A.
2．(2021·浙江模拟)某地区高中分三类，A类学校共有同学2 000人，B类学校共有同学3 000人，C类学校共有同学4 000人，若实行分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的同学甲被抽到的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.利用分层抽样，每个同学被抽到的概率是相同的，故所求的概率为＝.
3．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开头由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )
49
54
43
54
82
17
37
93
23
78
87
35
20
96
43
84
26
34
91
64
57
24
55
06
88
77
04
74
47
67
21
76
33
50
25
83
92
12
06
76
A.23 B．09
C．02 D．17
解析：选C.从随机数表第1行的第6列和第7列数字开头由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.
4．(2021·河北石家庄模拟)某学校高三班级一班共有60名同学，现接受系统抽样的方法从中抽取6名同学做“早餐与健康”的调查，为此将同学编号为1，2，…，60.选取的这6名同学的编号可能是( )
A．1，2，3，4，5，6 B．6，16，26，36，46，56
C．1，2，4，8，16，32 D．3，9，13，27，36，54
解析：选B.由系统抽样学问知，所取同学编号之间的间距相等且为10，所以应选B.
5．某学校在校同学2 000人，为了加强同学的熬炼意识，学校进行了跑步和登山竞赛，每人都参与且每人只参与其中一项竞赛，各班级参与竞赛的人数状况如下：
高一班级
高二班级
高三班级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解同学对本次活动的满足程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三班级参与跑步的同学中应抽取的人数为( )
A．15 B．30
C．40 D．45
解析：选D.由题意，全校参与跑步的人数占总人数的，所以高三班级参与跑步的总人数为×2 000×＝450，由分层抽样的特征，得高三班级参与跑步的同学中应抽取的人数为×450＝45.
6．(2021·安徽池州一中期末)已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现接受系统抽样的方法从中抽取150袋进行检查，将3 000袋奶粉按1，2，…，3 000随机编号，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．
解析：由题意知抽样比为k＝＝20，又第一组抽出的号码是11，则11＋60×20＝1 211，故第六十一组抽出的号码为1 211.
答案：1 211
7．某校对全校1 600名男女生同学的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数应当为________．
解析：设该校的女生人数为x，则男生人数为1 600－x，依据分层抽样的原理，各层的抽样比为＝，所以女生应抽取人，男生应抽取人，所以＋10＝，解得x＝760.
答案：760
8．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，依据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1 300
样本容量(件)
130
由于不当心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，依据以上信息，可得C的产品数量是________．
解析：设样本容量为x，则×1 300＝130，∴x＝300.
∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．
设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，∴y＝80.
∴C产品的数量为×80＝800(件)．
答案：800
9．某初级中学共有同学2 000名，各班级男、女生人数如下表：
初一班级
初二班级
初三班级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校同学中随机抽取1名，抽到初二班级女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名同学，问应在初三班级抽取多少名？
解：(1)∵＝0.19.∴x＝380.
(2)初三班级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名同学，应在初三班级抽取的人数为：×500＝12(名)．
10．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受训练程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
争辩生
x
20
y
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为争辩生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．
解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴＝，解得m＝3.
抽取的样本中有争辩生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.
从中任取2人的全部等可能基本大事共有10个：{S1，B1}，{S1，B2}，{S1，B3}，{S2，B1}，{S2，B2}，{S2，B3}，{S1，S2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}．
其中至少有1人的学历为争辩生的基本大事有7个：{S1，B1}，{S1，B2}，{S1，B3}，{S2，B1}，{S2，B2}，{S2，B3}，{S1，S2}．
∴从中任取2人，至少有1人学历为争辩生的概率为.
(2)由题意，得＝，解得N＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，
∴＝＝，解得x＝40，y＝5.
即x，y的值分别为40，5.
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