2020年北师版数学文(陕西用)课时作业：第八章-第三节圆-的-方-程.docx

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课时提升作业(四十九)
一、选择题
1.(2021·吉安模拟)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为　
(　　)
(A)-1　　　 (B)1　 　(C)3　 　　(D)-3
2.若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,则实数m的取值范围是(　　)
(A)-2<m<2 (B)0<m<2
(C)-2<m<2 (D)0<m<2
3.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为(　　)
(A)(-1,1) (B)(-1,0)
(C)(1,-1) (D)(0,-1)
4.(2021·榆林模拟)直线l将圆x2+y2-2x+4y-4=0平分,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程是(　　)
(A)x-y+1=0,2x-y=0
(B)x-y-1=0,x-2y=0
(C)x+y+1=0,2x+y=0
(D)x-y+1=0,x+2y=0

5.已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是(　　)
(A) (B)1 (C) (D)
6.在同一坐标系下,直线ax+by=ab和圆(x-a)2+(y-b)2=r2(ab≠0,r>0)的图象可能是(　　)

7.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4
(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1
8.若直线2ax-by+2=0(a,b>0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长,则+的最小值为(　　)
(A) (B)4 (C)2 (D)
二、填空题
9.(2021·西安模拟)△ABC的三个顶点坐标分别为A(4，0)，B(0，3)，C(0，0)，则它的外接圆方程为　　　　.
10.若圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称,则实数a的值为　　　　.
11.设二次函数y=x2-x+1与x轴正半轴的交点分别为A,B,与y轴正半轴的交点是C,则过A,B,C三点的圆的标准方程是　　　　.
12.设圆C同时满足三个条件:①过原点;②圆心在直线y=x上;③截y轴所得的弦长为4,则圆C的方程是　　　　.
三、解答题
13.(2021·汉中模拟)圆C通过不同的三点P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,试求圆C的方程.
14.已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
求:(1)动点M的轨迹方程.
(2)若N为线段AM的中点,试求点N的轨迹.
15.(力气挑战题)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M,N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13;圆弧C2过点A(29,0).
(1)求圆弧C2的方程.
(2)曲线C上是否存在点P,满足|PA|=|PO|?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由.

答案解析
1.【解析】选B.由x2+y2+2x-4y=0得(x+1)2+(y-2)2=5,所以该圆圆心为(-1,2).
又直线3x+y+a=0过(-1,2)点,
∴3×(-1)+2+a=0,解得a=1.
2.【解析】选C.由已知得m2+m2<8,即m2<4,解得-2<m<2.
3.【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==,
当k=0时,rmax==1,
此时圆的方程为x2+y2+2y=0,
即x2+(y+1)2=1,∴圆心为(0,-1).
4.【解析】选C.由已知直线l过圆x2+y2-2x+4y-4=0的圆心(1,-2),
当直线在两坐标轴上的截距均为0时,设方程为y=kx,又过(1,-2)点,所以-2=k,得l的方程为y=-2x,即2x+y=0;
当直线在两坐标轴上的截距均不为0时,设方程为+=1(a≠0),将(1,-2)代入得:a=-1,得l的方程为x+y+1=0.
综上l的方程为2x+y=0或x+y+1=0.
5.【解析】选C.圆心(-1,-1)与点M的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离d==,故点N与点M的距离|MN|的最小值=d-1=.
6.【解析】选D.逐一依据a,b的几何意义验证,知选项D中,直线ax+by=ab,即+=1在x,y轴上的截距分别为b<0和a>0时,D中圆的圆心亦为b<0和a>0,故选D.
7.【解析】选A.设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得又由于点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.
8.【解析】选B.由题意知直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心(-1,2),∴2a×(-1)-2b+2=0,即a+b=1,
∴+=+=2++≥2+2·=4(当且仅当a=b时取等号),
∴(+)min=4.
9.【解析】由题意可知，△ABC为直角三角形，且∠C=90°，
∵A(4，0)，B(0，3)，∴|AB|=5，
∴△ABC的外接圆的圆心为(2，)，半径为，
∴外接圆的方程为(x-2)2+(y-)2=.
答案:(x-2)2+(y-)2=
10.【解析】依题意知直线x-y+1=0经过圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0的圆心(-,-a),
所以-+a+1=0,解得a=3或a=-1,
当a=-1时,方程x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0不能表示圆,所以只能取a=3.
答案:3
11.【思路点拨】先由已知求出A,B,C三点坐标,再依据坐标特点得出方程.
【解析】由已知三个交点分别为A(1,0),B(3,0),C(0,1),易知圆心横坐标为2,则令圆心为E(2,b),由|EA|=|EC|得b=2,半径为,故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2 =5.
答案:(x-2)2+(y-2)2=5
12.【解析】由题意可设圆心A(a,a),则22+a2=2a2,解得a=±2,r2=2a2=8.所以圆C的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.
答案:(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8
13.【解析】设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则k,2为x2+Dx+F=0的两根,
∴k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k.
又圆过R(0,1),故1+E+F=0.
∴E=-2k-1.
故所求圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,
圆心坐标为C(,).
∵圆C在点P处的切线斜率为1,
∴kCP=-1=,∴k=-3,∴D=1,
E=5,F=-6.
∴所求圆C的方程为x2+y2+x+5y-6=0.
14.【解析】(1)设动点M(x,y)为轨迹上任意一点,则点M的轨迹就是集合P={M||MA|=|MB|}.
由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为=,
平方后再整理,得x2+y2=16.可以验证,这就是动点M的轨迹方程.
(2)设动点N的坐标为(x,y),M的坐标是(x1,y1).
由于A(2,0),且N为线段AM的中点,所以x=,y=.所以有x1=2x-2,y1=2y　①
由(1)题知,M是圆x2+y2=16上的点,
所以M坐标(x1,y1)满足:+=16　②
将①代入②整理,得(x-1)2+y2=4.
所以N的轨迹是以(1,0)为圆心,以2为半径的圆.
15.【解析】(1)圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169,令x=5,解得M(5,12),N(5,-12).
则线段AM中垂线的方程为y-6=2(x-17),令y=0,得圆弧C2所在圆的圆心为(14,0),
又圆弧C2所在圆的半径为r2=29-14=15,所以圆弧C2的方程为(x-14)2+y2=225
(5≤x≤29).
(2)假设存在这样的点P(x,y),则由|PA|=|PO|,得x2+y2+2x-29=0,
由解得x=-70(舍去).
由解得x=0(舍去),
综上知,这样的点P不存在.
【误区警示】求圆弧C2的方程时经常遗漏x的取值范围,其错误缘由是将圆弧习惯认为或误认为圆.
【变式备选】如图,在平面直角坐标系中,方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直,且AC和BD分别在x轴和y轴上.
(1)求证:F<0.
(2)若四边形ABCD的面积为8,对角线AC的长为2,且·=0,求D2+E2-4F的值.
(3)设四边形ABCD的一条边CD的中点为G,OH⊥AB且垂足为H.试用平面解析几何的争辩方法推断点O,G,H是否共线,并说明理由.
【解析】(1)方法一:由题意,原点O必定在圆M内,即点(0,0)代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边所得的值小于0,于是有F<0,即证.
方法二:由题意,不难发觉A,C两点分别在x轴正、负半轴上.设两点坐标分别为A(a,0),C(c,0),则有ac<0.对于圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当y=0时,可得x2+Dx+F=0,其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标,于是有xAxC=ac=F.
由于ac<0,故F<0.
(2)不难发觉,对角线相互垂直的四边形ABCD的面积S=,由于S=8,
|AC|=2,可得|BD|=8.
又由于·=0,所以∠BAD为直角,又由于四边形是圆M的内接四边形,故|BD|=2r=8⇒r=4.
对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆,
可知+-F=r2,所以D2+E2-4F=4r2=64.
(3)设四边形四个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
则可得点G的坐标为(,),即=(,).
又=(-a,b),且AB⊥OH,故要使G,O,H三点共线,只需证·=0即可.
而·=,且对于圆M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当y=0时可得x2+Dx+F=0,其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标,
于是有xAxC=ac=F.
同理,当x=0时,可得y2+Ey+F=0,其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标,于是有yByD=bd=F.
所以·==0,即AB⊥OG.
故O,G,H三点必定共线.
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