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高考小题综合练(二)
(推举时间：40分钟)
1．全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则右图中阴影部分表示的集合( )
A．{x|x<－1或x>2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x≤1} D．{x|0≤x≤1}
答案 D
解析 阴影部分表示的集合是A∩B.依题意知，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|－1≤y≤1}，所以A∩B＝{x|0≤x≤1}，故选D.
2．复数的虚部是( )
A.i B.
C．－ D．－i
答案 B
解析 ＝＝＋，
所以虚部为.
3．(2022·陕西)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的推断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
答案 B
解析 原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不愿定互为共轭复数，同时由于逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.
4．(2022·湖南)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，其次年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B.
C. D.－1
答案 D
解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
所以x＝－1.
5．设数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，把{an}中的每一项都减去3后，得到一个新数列{bn}，{bn}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，下列结论正确的是( )
A．4bn＝bn＋1且Sn＝(4n－1)
B．4bn－6＝bn＋1且Sn＝(4n－1)
C．4bn＋9＝bn＋1且Sn＝(4n－1)－3n
D．4bn－9＝bn＋1且Sn＝(4n－1)－3n
答案 C
解析 由已知得bn＝4n－1－3，故有4bn＋9＝4(4n－1－3)＋9＝4n－3＝bn＋1，Sn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)－3n＝(4n－1)－3n.
6．已知x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a为常数)仅在点处取得最大值，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(0,1)
C．(－1,1) D．(－1,0)
答案 C
解析 由x，y满足约束条件
画出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由目标函数z＝ax＋y，得y＝－ax＋z，
由于z仅在点处取得最大值，
所以得－1<－a<1，得实数a的取值范围是(－1,1)．
7．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．15π B．16π C．17π D．18π
答案 B
解析 该几何体是从一个球体中挖去个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为×(4π×22)＋2×＝16π.
8．(2022·课标全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 D
解析 由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．
9．已知锐角A，B满足2tan A＝tan(A＋B)，则tan B的最大值为( )
A. B.
C. D．2
答案 B
解析 tan B＝tan[(A＋B)－A]＝＝＝，
又tan A>0，则＋2tan A≥2，
当且仅当tan A＝时取等号．
所以tan B≤＝.
故选B.
10．当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f是( )
A．奇函数且图象关于点对称
B．偶函数且图象关于点(π，0)对称
C．奇函数且图象关于直线x＝对称
D．偶函数且图象关于点对称
答案 C
解析 由题意得，sin＝－1，
∴φ可取－.
∴f＝Asin＝－Asin x，
∴选C.
11．设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是______．
答案 ±
解析 由条件可知圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝＝1，即＝1，解得m＝±.
12．(2022·天津)某高校为了解在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟接受分层抽样的方法，从该校四个班级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一班级、二班级、三班级、四班级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一班级本科生中抽取________名同学．
答案 60
解析 依据题意，应从一班级本科生中抽取的人数为×300＝60.
13．(2022·上海)为强化平安意识，某商场拟在将来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是________(结果用最简分数表示)．
答案
14．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
答案
解析 ＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.
15．已知数列{an}满足an＝n·kn(n∈N*,0<k<1)，下面说法正确的是____________________．
①当k＝时，数列{an}为递减数列；
②当<k<1时，数列{an}不愿定有最大项；
③当0<k<时，数列{an}为递减数列；
④当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项．
答案 ③④
解析 ＝k，由于0<k<1，
所以当n<时，>1，即an＋1>an；
当n>时，<1，
即an＋1<an.
①当k＝时，a1＝，a2＝2×()2＝，a1＝a2，故数列{an}不是递减数列．故①不正确．
②当<k<1时，∈(1，＋∞)，所以数列{an}先减后增，有最大值，故②不正确．
③当0<k<时，∈(0,1)，所以数列{an}是递减数列，故③正确．
④当为正整数时，令＝n∈N*，所以k＝∈[，1)．
k＝时，a1＝a2＝，数列{an}从其次项起递减，所以此时数列{an}有两项相等的最大值；
<k<1时，数列从第一项到第n－1项递增，从第n＋1项起递减．
＝k＝×＝>1，
所以an>an－1，＝k＝×＝1，所以an＝an＋1，所以此时数列{an}有两项相等的最大值，故④正确．
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