资源描述
第1讲 空间几何体的三视图、直观图、
表面积与体积
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·沈阳质量监测)一个简洁几何体的正视图、侧视图分别为如图所示的矩形、正方形，则其俯视图不行能为 ( )
A．矩形 B．直角三角形
C．椭圆 D．等腰三角形
解析 依题意，题中的几何体的俯视图的长为3、宽为2，因此结合题中选项知，其俯视图不行能是等腰三角形，故选D.
答案 D
2．(2021·合肥质量检测)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )
A．12＋4 B．18＋8
C．28 D．20＋8
解析 由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为×2×2×2＋4×2×2＋4×2＝20＋8，故选D.
答案 D
3. (2022·大连模拟)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的全部棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为 ( )
A. B．
C. D．
解析 三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.
答案 A
4．(2022·四川卷)某三棱锥的左视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( )
A．3 B．2
C． D．1
解析 由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2的等边三角形．由侧视图可知，三棱锥的高为.故该三棱锥的体积V＝××2××＝1.
答案 D
5．(2022·新课标全国Ⅱ卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( )
A. B．
C. D．
解析 该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为π×22×4＋π×32×2＝34π (cm3)，
圆柱体毛坯的体积为π×32×6＝54π (cm3)，
所以切削掉部分的体积为54π－34π＝20π (cm3)，
所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为＝，故选C.
答案 C
二、填空题
6.如图所示，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号)．
解析 由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．
答案 ②③
7．(2022·山东卷)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
解析 设六棱锥的高为h，斜高为h0.由于该六棱锥的底面是边长为2的正六边形，所以底面面积为×2×2×sin 60°×6＝6，则×6h＝2，得h＝1，所以h0＝＝2，所以该六棱锥的侧面积为×2×2×6＝12.
答案 12
8．(2022·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，并由三视图的外形特征及数据，可推知PA⊥面ABC，△ABC为等腰直角三角形，且PA＝2，AB＝BC＝，AC＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝.所以最长的棱为PC，PC＝
＝2.
答案 2
三、解答题
9．如图是一个几何体的主视图和俯视图．
(1)试推断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
(3)求出该几何体的体积．
解 (1)正六棱锥．
(2)其侧视图如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝a，AD的长是正六棱锥的高，
即AD＝a，
∴该平面图形的面积
S＝ a·a＝a2.
(3)V＝×6×a2×a＝a3.
10．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解 (1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝ cm，A1D1＝AD＝2 cm，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积
S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)，
体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2021·青岛调研)如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( )
A．7π cm2 B．8π cm2
C．9π cm2 D．11π cm2
解析 依题意，题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分，其中该圆柱的底面半径是1 cm、高是3 cm，该球的半径是1 cm，因此该几何体表面积等于×(4π×12)＋π×12＋2π×1×3＝9π(cm2)，故选C.
答案 C
12．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为 ( )
A．3 B．2
C． D．1
解析 由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝，SC＝4，所以SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V＝××()2×4＝.
答案 C
13．(2022·沈阳质量)已知球O的体积等于，假如长方体的八个顶点都在球O的球面上，那么这个长方体的表面积的最大值等于________．
解析 由球O的体积为＝πR3，得球O的半径R＝.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则x2＋y2＋z2＝(2R)2＝25，所以该长方体的表面积2xy＋2xz＋2yz≤2(x2＋y2＋z2)＝50，当且仅当x＝y＝z时取等号，所以表面积的最大值为50.
答案 50
14．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D－ABC的体积．
(1)证明 在题图中，可得AC＝BC＝2，
从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，
平面ADC∩平面ABC＝AC，
BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.
(2)解 由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，
∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.
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