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补偿练3 不等式
1．不等式≥2的解集是__________．
解析 ∵(x－1)2≥0且x≠1，
∴≥2⇔x＋5≥2(x－1)2且x≠1⇔2x2－5x－3≤0且x≠1，解得－≤x＜1或1＜x≤3.
答案 [－，1)∪(1，3]
2．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
解析 x2＋y2＋xy＝1⇔(x＋y)2－xy＝1⇔(x＋y)2－1＝xy≤，解得≤x＋y≤.
答案
3．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于________．
解析 由题意知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两个根，∴x1＋x2＝2a，x1·x2＝－8a2，
∴|x2－x1|＝＝＝15.
又a＞0，解得a＝.
答案
4．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为________．
解析 画出可行域(如图)，目标函数向上平移至点A时，取得最大值，由
得A(4，3)，
∴(x＋y)max＝4＋3＝7.
答案 7
5．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是________．
解析 对于x2＋3xy－1＝0可得y＝，
∴x＋y＝＋≥2＝
(当且仅当＝，即x＝时等号成立)．
答案
6．若x∈(e－1，1)，a＝ln x，b＝，c＝eln x，则a，b，c的大小关系是________．
解析 ∵x∈(e－1，1)，∴－1＜ln x＜0，1＜＜2，＜eln x＜1，∴b＞c＞a.
答案 b＞c＞a
7．已知实数x，y满足约束条件且目标函数z＝kx＋y的最大值为11，则实数k＝________．
解析 画图后易知，目标函数在点(2，3)处取到最大值11，所以2k＋3＝11，即k＝4.
答案 4
8．设x，y满足约束条件若z＝x＋3y＋m的最小值为4，则m＝________．
解析 画出可行域，如图所示，设z′＝x＋3y，变形为y＝－x＋z′，当z′取到最小值时，直线的纵截距最小，此时直线过C点．由可知C，代入目标函数z＝x＋3y＋m，得4＝＋3×＋m，得m＝2.
答案 2
9．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc＞0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是________．
解析 依题意得，题中的圆心坐标是(0，1)，于是有b＋c＝1，＋＝(b＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即b＝2c＝时取等号，因此＋的最小值是9.
答案 9
10．已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的最大值是__________．
解析 ·＝2x＋y，如图：当直线2x＋y＝z经过点(1，1)时，达到最大值，z max ＝3.
答案 3
11．若存在x使不等式＞成立，则实数m的取值范围为________．
解析 依题意得，关于x的不等式＞，即－m＞ex－x有解．记f(x)＝ex－x(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥ex×2－1＝ex－1＞－1＞0(x＞0)，因此函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(x)的最小值是f(0)＝0，于是有－m＞0，m＜0，实数m的取值范围是(－∞，0)．
答案 (－∞，0)
12．已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是________．
解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，|AM|的最小值等于点A(－1，1)到直线2x＋y－2＝0的距离，即等于＝.
答案
13．已知不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A(a，b)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．
解析 易知不等式＜0的解集为(－2，－1)，所以a＝－2，b＝－1，2m＋n＝1，＋＝(2m＋n)(＋)＝5＋＋≥5＋4＝9(当且仅当m＝n＝时取等号)，所以＋的最小值为9.
答案 9
14．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax－1恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 在同始终角坐标系下作出y＝|f(x)|和y＝ax－1的图象如图所示，由图象可知当y＝ax－1与y＝x2－4x相切时符合题意，由x2－4x＝ax－1有且只有一负根，则Δ＝0且<0，得a＝－6，绕点(0，－1)逆时针旋转，转到水平位置时都符合题意，所以a∈[－6，0]．
答案 [－6，0]
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