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题组一 机械能是否守恒的推断
图1
1．如图1所示，电动小车沿斜面从A匀速运动到B，则在运动过程中( )
A．动能减小，重力势能增加，总机械能不变
B．动能增加，重力势能减小，总机械能不变
C．动能不变，重力势能增加，总机械能不变
D．动能不变，重力势能增加，总机械能增加
答案 D
图2
2．2022年9月16日，首届矮寨国际低空跳伞节在湖南吉首市矮寨大桥拉开帷幕．来自全球17个国家的42名跳伞运动员在矮寨大桥上奉献了一场惊险刺激的低空跳伞极限运动表演．他们从离地350米高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运动的完善结合．如图2所示，假设质量为m的跳伞运动员，由静止开头下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度为g，在运动员下落h的过程中，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能削减了mgh
B．物体的动能增加了mgh
C．物体克服阻力所做的功为mgh
D．物体的机械能削减了mgh
答案 AB
题组二 系统机械能守恒问题分析
图3
3．如图3所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过细杆中心的水平轴无摩擦转动，现让细杆水平放置，静止释放小球后，小球b向下转动，小球a向上转动，在转动90°的过程中，以下说法正确的是( )
A．b球的重力势能削减，动能增加
B．a球的重力势能增大，动能削减
C．a球和b球的机械能总和保持不变
D．a球和b球的机械能总和不断减小
答案 AC
解析 在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，使两球动能增加，同时b球重力势能削减，a球重力势能增加，a、b两球的总机械能守恒．
图4
4．如图4所示，可视为质点的小球A、B用不行伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B. C. D.
答案 C
解析 设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为争辩对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v竖直上抛，又上升的高度为h′＝，解得h′＝R，故B上升的总高度为R＋h′＝R，选项C正确．
5．如图5所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长时，圆环高度为h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑到底端的过程中(杆与水平方向夹角为30°)( )
图5
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先减小后增大
C．弹簧的弹性势能变化了mgh
D．弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大
答案 C
解析 圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环机械能不守恒，A错误；弹簧形变量先增大后减小然后再增大，所以弹性势能先增大后减小再增大，B错误；由于圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环的机械能削减了mgh，所以弹簧的弹性势能增加mgh，C正确；弹簧与光滑杆垂直时，圆环所受合力沿杆向下，圆环具有与速度同向的加速度，所以做加速运动，D错误．
题组三 应用机械能守恒定律解决综合问题
图6
6．如图6所示，长度为L的细线下挂一个质量为m的小球，小球半径忽视不计，现用一个水平力F拉小球，使悬线偏离竖直方向θ角并保持静止状态．
(1)求拉力F的大小；
(2)撤掉F后，小球从静止开头运动到最低点时的速度为多大？
(3)在最低点绳子拉力为多少？
答案 (1)mgtan θ (2) (3)3mg－2mgcos θ
解析 (1)小球处于静止状态，合外力为零，对其进行受力分析，得
F＝mgtan θ
(2)依据机械能守恒定律：mgL(1－cos θ)＝mv2/2
v＝
(3)拉力与重力的合力供应向心力：T－mg＝mv2/L
T＝3mg－2mgcos θ
7．如图7所示，轻弹簧k一端与墙相连，质量为4 kg的木块沿光滑水平面以5 m/s的速度运动，并压缩弹簧，求弹簧在被压缩的过程中最大弹性势能及木块速度减为3 m/s时的弹性势能．
图7
答案 50 J 32 J
解析 木块压缩弹簧的过程中，只有弹力做功，木块的动能与弹簧的弹性势能之和守恒．
从开头压缩至木块速度为零，依据机械能守恒mv＝Ep
可得：Ep＝50 J
从开头压缩至木块速度为3 m/s，依据机械能守恒
mv－mv2＝Ep′，可得：Ep′＝32 J
8．如图8所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R＝0.4 m的半圆形轨道CD，竖直放置，其内径略大于小球的直径，水平轨道与竖直半圆轨道在C点连接完好．置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B处为弹簧原长状态的右端．将一个质量为m＝0.8 kg的小球放在弹簧的右侧后，用力水平向左推小球而压缩弹簧至A处，然后将小球由静止释放，小球运动到C处后对轨道的压力大小为F1＝58 N．水平轨道以B处为界，左侧AB段长为x＝0.3 m，与小球间的动摩擦因数为μ＝0.5，右侧BC段光滑．g＝10 m/s2，求：
图8
(1)弹簧在压缩时所储存的弹性势能；
(2)小球运动到轨道最高处D点时对轨道的压力．
答案 (1)11.2 J (2)10 N，方向竖直向上
解析 (1)对小球在C处，由牛顿其次定律及向心力公式得F1－mg＝m，
v1＝ ＝ m/s＝5 m/s.
从A到B由动能定理得Ep－μmgx＝mv，
Ep＝mv＋μmgx＝×0.8×52 J＋0.5×0.8×10×0.3 J＝11.2 J.
(2)从C到D，由机械能守恒定律得：
mv＝2mgR＋mv，
v2＝＝ m/s＝3 m/s，
由于v2＞＝2 m/s，
所以小球在D处对轨道外壁有压力．
小球在D处，由牛顿其次定律及向心力公式得F2＋mg＝m，F2＝m＝0.8× N＝10 N.
由牛顿第三定律可知，小球在D点对轨道的压力大小为10 N，方向竖直向上．
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