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2021届模拟考试3
------理科数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（12´×5=60´）
1.设全集U=｛1,2,3,4,5,6,7｝，M=｛2,3,4,6｝，N=｛1,4,5｝，则｛1,5｝=（ ）
A.M∩N B.M∪N C.(CUM)∩N D.M∩(CUN)
2.假如复数的实部和虚部互为相反数，则实数b=（ ）
A.- B.- C. D.
3.设a，b∈R，则的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不必要也不充分条件
4.在△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，若asinA+bsinB-csinC=asinB，则角C=（ ）
A. B. C. D.
5.当a为任意实数时，直线(a1)xy+a+1=0恒过定点C，则以点C为圆心，为半径的圆的方程为（ ）
A.x2+y22x4y=0 B.x2+y2+2x4y=0 C.x2+y22x+4y=0 D.x2+y2+2x+4y=0
6.右图是y=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<)在区间[-,]上的图象为了得到y=sin2x的图象，只需要将此图象（ ）
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
7.如图，AB是半圆O的直径，P是半圆上的任意一点，M、N是AB上关于O点对称的两点，若|AB|=6，|MN|=4，则·=（ ）
A.3 B.5 C.7 D.13
8.如图所示，在正方形OABC中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f´(x)，对任意x∈R恒有f(x)>f´(x)，
a=3f(ln2)，b=2f(ln3)，则有（ ）
A. a>b B. a=b C. a<b D. a，b大小关系不能推断
10.设斜率为的直线与椭圆+=1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11.已知数列｛an｝满足an+1=an-an-1(n∈N+且n≥2)，若a1=1，a2=3，Sn=a1+a2+…+an，则下列结论中正确的是（ ）
A.a2021=1, S2021=2 B.a2021=3, S2021=2 C.a2021=1, S2021=2 D.a2021=3, S2021=2
12.设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f´(x)，f´(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x)，假如在区间(a,b)上恒有f″(x)<0，则称函数f(x)是区间(a,b)上的“凸函数”，若f(x)=x4mx3x2，
当|m|≤2时是区间(a,b)上的凸函数，则ba的最大值为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（5´×4=20´）
7
7
8
8
0
2
4
9
1
13.在一次演讲竞赛中，6位评委对一位选手打分的茎叶图，如右图所示，若去掉
一个最高分和一个最低分后，得到一组数据xi (i=1,2,3,4)，在如图所示的程序框
图中，是这四个数的平均数，则输出的V的值为
14.设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
15.过直线x+y-2=0上一点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角为60°，则点P的坐标为
16.曲线y=在点M（π,0）处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(不含三角形边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点，则x+4y的取值范围
为
三、解答题（12´×5+10´=70´）
17.在锐角△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，已知sin(AB)=cosC.
(1)若a=3，b=，求c边长；
(2) 若=，求角A、C.
18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形
且∠DAB=60°，O为AD中点.
(1)若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC上是否存在点M，使二面角M—BO—C的大小为60°，如存在，求的值，如不存在，说明理由.
19.为了疼惜环境，某市设立了若干个自行车自动租赁点，规定租车时间不超过一小时不收费，一小时以上不超过两小时收费一元，两小时以上，不超过三小时收费两元(不足一小时，按一小时计)，甲、乙两人各租车一辆，甲、乙租车时间不超过一小时的概率为、，一小时以上，不超过两小时的概率为、，且两人租车时间都不会超过三小时(甲、乙两人租车时间相互独立).
(1)求甲、乙两人所付租车费相等的概率；
(2)设两人租车费用之和为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
20.已知圆C的圆心在坐标原点O，且与直线：x-2y+3=0相切，点A为圆上一动点，
AM⊥x轴，垂足为M，动点N满足=+(1-)，设动点N轨迹为曲线C1.
(1)求曲线C1的方程；
(2)直线与直线垂直且与曲线C1交于B、D两点，求△OBD面积的最大值.
21.已知函数f(x)=lnxa(1) (a∈R).
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最小值为0，求a；
(3)在(2)的条件下，设数列{an}满足a1=1, an+1=f(an)–lnan+2，
记[x]表示不大于x的最大整数 (如[3.1]=3)，
求Sn=[a1]+[a2]+…+[an].
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.
留意：只能做所选定的题目，假如多做，则按所做的第一个题目计分.
22.（选修4—1:几何证明选讲）
如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线交BD的延长线于点P交AD的延长线于点E.
(1)求证：AB2=DE·BC；
(2)若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长.
23.（选修4—4:坐标系与参数方程）
在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，
M是曲线C1上的动点，P点满足=2，P点轨迹为曲线C2.
(1)求C2的参数方程；
(2)在以O点为极点，Ox轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与曲线C1、C2异于极点的交点分别为A、B，求|AB|.
24.（选修4—5，:不等式选讲）
(1)证明柯西不等式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2；
(2)若a,b∈R+且a+b=1，用柯西不等式求+的最大值.
2021届模拟考试数学3（理）参考答案
一、选择题：(5′×12=60′) CAADB DBBAD BA
二、填空题：(5′×4=20′)
13.20 14.24π 15.(,) 16.(0,4)
三、解答题：（12′×5+10′=70′）
17.解：(1)由sin(A-B)=cosC可得sin(A-B)=sin(-C)
∵△ABC是锐角三角形 ∴A-B=-C …………………………………….2分
即A-B+C=
∵A+B+C=π ∴B= ……………………………………………………..4分
又∵b2=a2+c2—2accosB a=3 b=
∴c2-6c+8=0 ∴c=2或c=4
当c=2时，b2+c2-a2=-4<0 ∴A为钝角
与已知冲突 ∴c≠2 ∴c=4 …………………………………………6分
(2)∵B= ∴C=-A
==sin(A-C)= sin(2A-)=
∴sin(2A-)=
∵A∈(0,) ∴2A-∈(-,)
∴2A-= ∴A= …………………………………………………10分
∴C=-= ……………………………………………………………12分
18.解：(1)∵PA=PD O为AD中点 ∴PO⊥AD
又∵ABCD为菱形且∠DAB=60° ∴OB⊥AD
∵PO∩OB=O ∴AD⊥面POB
∵AD面PAD ∴面POB⊥面PAD …………………………………………6分
(2)∵面PAD⊥面ABCD且面PAD∩面ABCD=AD ∴PO⊥面ABCD
以O为坐标原点，分别以OA、OB、OP为x、y、z轴
建立空间直角坐标系
∴O(0,0,0)、P(0,0,)、B(0,,0)、C(-2,,0)
设=(0<λ<1) ∴M(-2λ,λ, (1-λ))
∵平面CBO的法向量为n1=(0,0,)
设平面MOB的法向量为n2=(x,y,z) ………………………………………………10分
∴ 取n2=(,0,)
∵二面角M—BO—C的大小为60°
∴= 解得λ=
∴存在M点使二面角M—BO—C等于60°，且= …………………………12分
19.解：设甲、乙两人租车时间不超过一小时分别为大事A1，A2
超过一小时，不超过两小时为大事A2，B2
超过二小时，不超过三小时为大事A3，B3
∴P(A1)= P(A2)= P(A3)=1--=
P(B1)= P(B2)= P(B3)=1--= ………………………………………2分
(1)设两人所付车费相等为大事C
∴P(C)=P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)= ………………6分
(2)∵ξ=0,1,2,3,4 ………………………………………………………………………7分
P(ξ=0)=P(A1B1)=
P(ξ=1)=P(A1B2+A2B1)=
P(ξ=2)=P(A1B3+A2B2+A3B1)=
P(ξ=3)=P(A2B3+A3B2)=
P(ξ=4)=P(A3B3)=
∴分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
∴Eξ=1+2+3+4= ……………………………………………12分
20.解：(1)设动点N(x,y)，A(x0,y0) ∵AM⊥x轴 ∴M(x0,0)
设圆C的方程为x2+y2=r2 由题意得r==3∴圆C的方程为x2+y2=9 …………2分
又∵=+(1)
∴ ∴ ∵x+y=9 ∴x2+3y2=9
∴N点的轨迹方程为+=1 ………………………………………………………6分
(2)由题意可设直线的方程2x+y+m=0
得13x2+12mx+3m2-9=0
∵直线和曲线C1交于相异两点，∴Δ=144m2-4×13×(3m2-9)>0 ∴m2<39 ………8分
∴│BD│=·|x1-x2|=·=
又∵O点到直线的距离为
∴S△OBD=··== ……10分
∵3m2(39-m2)≤m2+(39-m2)= （当且仅当
∴S△OBD≤= ∴△OBD面积的最大值为 ……………………12分
21.解：(1)由已知得f(x)定义域为(0,+∞) …………………………………………………1分
∵f´(x)=
当a≤0时，f´(x)>0 ∴f(x)的增区间是(0,+∞)，无减区间.
当a>0时，x∈(0,a)时，f´(x)<0
x∈(a,+∞)时，f´(x)>0
∴f(x)的单调增区间为(a,+∞)，单调减区间为(0,a) ………………………………4分
(2)由(1)知当a≤0时，f(x)无最小值
当a>0时，f(x)min=f(a)=lna-a+1=0 ∴a=1 ……………………………………6分
(3)∵a=1 ∴f(x)=lnx+-1 ∴an+1=f(an)-lnan+2=+1 ………………7分
∵a1=1 ∴a2=2 a3= a4=
下面证明当n≥3时，an∈(1,2)
1°当n=3时，a3= ∴a3∈(1,2)
2°设∈(1,2) ∴<<1 ∴∈(1,2)
综合1°，2°可知当n≥3时，∈(1,2) …………………………………………10分
∴[a1]=1 [a2]=2 [a3]=[a4]=…=[an]=1 ∴ ..……………12分
留意：以下三题只能做所选定的题目，假如多做，则按所做的第一个题目计分.
22.解：(1)∵AD∥BC ∴AB=CD ∴AB=CD，∠EDC=∠DCB
又∵CP是⊙O的切线 ∴∠ECD=∠DBC
∴△CDE∽△BCD ∴=
∴DC2=DE·BC ∴AB2=DE·BC ………………5分
(2)由(1)知DE==4 ∵DE∥BC ∴△PDE∽△PBC
∴ == ∵PB-PD=DB=9 ∴PD= PB=
∴PC2=PB·PD= ∴PC= …………………………………………10分
23.解：(1)设P(x,y)，则由已知条件可得：M(,) ∴
∵曲线c2的参数方程为(为参数) ……………………………5分
(2)∵曲线C1 的极坐标方程为=4sinθ
曲线C2 的极坐标方程为=8sinθ ……………………………………………8分
∴直线θ=与曲线C1交点A的极径1=4sin=2
与曲线C2交点B的极径2=8sin=4 ∴|AB|=2…….10分
24.解：(1)证明：(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(ad-bc)2≥0
∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ……………………………………………………5分
(2)由柯西不等式可得(12+12)[()2+()2]≥(+)2
∵a+b=1 ∴(+)210 ∴(+)max= ………10分
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