2022届高考数学大一轮总复习(北师大版理科)配套题库：第6章-第3讲-等比数列及其前n项和-.docx

第3讲 等比数列及其前n项和一、选择题1若数列an满足anqn(q0，nN)，则以下命题正确的是()a2n是等比数列；是等比数列；lg an是等差数列；lg a是等差数列A BC D解析 anqn(q0，nN)，an是等比数列，因此a2n，是等比数列，lg an，lg a是等差数列答案 C2已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6()A5 B7C6 D4解析 an为等比数列，(a4a5a6)2(a1a2a3)(a7a8a9)50，an0，a4a5a65.答案 A3已知等比数列an为递增数列若a10，且2(anan2)5an1，则数列an的公比q()A2 B. C2或 D3解析2(anan2)5an1，2an2anq25anq，化简得，2q25q20，由题意知，q1.q2.答案A4在正项等比数列an中，Sn是其前n项和若a11，a2a68，则S8 ()A8 B15(1)C15(1) D15(1)解析a2a6a8，aq68，q，S815(1)答案B5若数列an满足p(p为正常数，nN)，则称an为“等方比数列”甲：数列an是等方比数列；乙：数列an是等比数列，则()A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的充要条件C甲是乙的必要条件但不是充分条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：乙甲，但甲/ 乙，如数列2,2，2，2，2，是等方比数列，但不是等比数列答案：C6一个等比数列前三项的积为2，最终三项的积为4，且全部项的积为64，则该数列有()A13项 B12项C11项 D10项解析 设前三项为a1，a1q，a1q2，最终三项分别为a1qn3，a1qn2，a1qn1.所以前三项之积aq32，最终三项之积aq3n64.所以两式相乘，得aq3(n1)8，即aqn12.又a1a1qa1q2a1qn164，aq64，即(aqn1)n642，即2n642.所以n12.答案 B二、填空题7在等比数列an中，a11，公比q2，若an64，则n的值为_解析由于ana1qn1且a11，q2，所以642612n1，所以n7.答案78等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q_.解析 由S33S20得4a14a2a30，有44qq20，解得q2.答案 29等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，且对任意的nN都有an2an12an0，则S5_.解析 由an为等比数列可知an0，又an2an12an0，q2q2 0，q1(舍)或q2.S511.答案 1110等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：数列为等比数列；若a2a122，则S1313；Snnand；若d0，则Sn确定有最大值其中真命题的序号是_(写出全部真命题的序号)解析对于，留意到an1and是一个非零常数，因此数列是等比数列，正确对于，S1313，因此正确对于，留意到Snna1dnan(n1)ddnand，因此正确对于，Snna1d，d0时，Sn不存在最大值，因此不正确综上所述，其中正确命题的序号是.答案三、解答题11已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式(1)证明anSnn，an1Sn1n1，得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，.首项c1a11，又a1a11.a1，c1，公比是以为首项，公比为的等比数列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.12已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值解(1)设数列an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)即q24q20，解得q12，q22.所以数列an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设数列an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10(*)，由a0得4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根由数列an唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a.13数列an的前n项和记为Sn，a1t，点(Sn，an1)在直线y3x1上，nN*.(1)当实数t为何值时，数列an是等比数列(2)在(1)的结论下，设bnlog4an1，cnanbn，Tn是数列cn的前n项和，求Tn.解(1)点(Sn，an1)在直线y3x1上，an13Sn1，an3Sn11(n1，且nN*)an1an3(SnSn1)3an，an14an(n1，nN*)，a23S113a113t1，当t1时，a24a1，数列an是等比数列(2)在(1)的结论下，an14an，an14n，bnlog4an1n，cnanbn4n1n，Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(14424n1)(123n).14已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0且有f(1x)f(1x)，直线g(x)4(x1)被函数f(x)的图像截得的弦长为4，数列an满足a12，(an1an)g(an)f(an)0(nN)(1)求函数f(x)；(2)求数列an的通项公式；来源:(3)设bn3f(an)g(an1)，求数列bn的最值及相应的n.解 (1)依题意，设f(x)a(x1)2(a0)，则直线g(x)4(x1)与函数yf(x)图像的两个交点为(1,0)，来源 4，a1，f(x)(x1)2.(2)f(an)(an1)2，g(an)4(an1)，(an1an)4(an1)(an1)20，(an1)(4an13an1)0，a12，an10，4an13an10，an11(an1)，又a111，数列an1是首项为1，公比为的等比数列，an1n1，ann11.(3)bn3(an1)24(an11)324n，设bny，un1，则y332.nN，u的值分别为1，经比较距最近，当n3时，bn有最小值，当n1时，bn有最大值0.