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第2讲 数列的综合问题
一、选择题
1．(2022·杭州质量检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使Sn＞0成立的最小正整数n为 ( )．
A．6 B．7
C．8 D．9
解析 ∵a4＜0，a5＞|a4|，
∴a4＋a5＞0，
∴S8＝＝＞0.
∴最小正整数为8.
答案 C
2．(2022·广州综合测试)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2022＝ ( )．
A．1 006 B．1 007
C．1 008 D．1 009
解析 由an＋1－an＝sin⇒an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sin π＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin ＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin 2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin＝0＋1＝1，∴a5＝a1，如此连续可得an＋4＝an(n∈N*)，数列{an}是一个以4为周期的周期数列，而2 014＝4×503＋2，因此S2 014＝503×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1 008.
答案 C
3．(2022·吉林省试验中学模拟)an＝(2x＋1)dx，数列的前项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn＝n－8，则bnSn的最小值为 ( )．
A．－3 B．－4
C．3 D．4
解析 an＝(2x＋1)dx＝n2＋n＝n(n＋1)，所以＝
－，所以Sn＝，所以bnSn＝＝n＋1＋－10≥－4，当且仅当n＋1＝，即n＝2时等号成立，所以bnSn的最小值为－4.
答案 B
4．已知各项都为正的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得 ＝4a1，则＋的最小值为 ( )．
A. B．
C. D．
解析 由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(与条件中等比数列的各项都为正冲突，舍去)，又由 ＝4a1，得aman＝16a，即a2m＋n－2＝16a，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)＝≥＝，当且仅当＝，m＋n＝6，即n＝2m＝4时取得最小值.
答案 A
二、填空题
5．(2021·辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
解析 ∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，
∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，
因此S6＝＝63.
答案 63
6．(2022·江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an＝________.
解析 依据题意，由于各项均为正数的等比数列{an}中，
a2－a1＝1，所以q＞1.
∵＝q，∴a1(q－1)＝1，a1＝，
∴a3＝＝
＝q－1＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当q＝2时取得等号，故可知数列{an}的通项公式an＝2n－1.
答案 2n－1
7．(2022·咸阳一模)已知函数f(x)＝x＋sin x，项数为19的等差数列{an}满足an∈，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝0，则当k＝________时，f(ak)＝0.
解析 由于函数f(x)＝x＋sin x是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{an}有19项，an∈，若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝0，则必有f(a10)＝0，所以k＝10.
答案 10
8．(2021·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
解析 由已知解得a1＝－3，d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－，由于函数f(x)＝－(x＞0)在x＝处取得微小值也是最小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49.
答案 －49
三、解答题
9．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝4，{an}的前3项和为7.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(2n－3)2n＋3，设数列{bn}的前n项和为Sn，求证：＋＋…＋≤2－.
(1)解 设数列{an}的公比为q，由已知得q>0，且∴
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)证明 当n＝1时，a1b1＝1，且a1＝1，解得b1＝1.
当n≥2时，anbn＝(2n－3)2n＋3－(2n－2－3)2n－1－3＝(2n－1)·2n－1.
∵an＝2n－1，∴当n≥2时，bn＝2n－1.
∵b1＝1＝2×1－1满足bn＝2n－1，
∴数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*)．
∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴Sn＝n2.∴当n＝1时，＝1＝2－.
当n≥2时，＝<＝－.
∴＋＋…＋≤2－＋－＋…＋－＝2－.
10．(2022·四川卷)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．
(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.
它在x轴上的截距为a2－.
由题意知，a2－＝2－，解得a2＝2.
所以，d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋，
2Tn＝＋＋＋…＋.
因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－
＝2－－＝.所以，Tn＝.
11．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意，可得2an＋1＋Sn－2＝0.①
当n≥2时，2an＋Sn－1－2＝0.②
①－②，得2an＋1－2an＋an＝0，所以＝(n≥2)．
由于a1＝1,2a2＋a1＝2，所以a2＝.
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．
所以数列{an}的通项公式为an＝n－1.
(2)由(1)知，Sn＝＝2－.
若为等差数列，则S1＋λ＋，S2＋2λ＋，S3＋3λ＋成等差数列，则2＝S1＋＋S3＋，即2＝1＋＋＋，解得λ＝2.
又λ＝2时，Sn＋2n＋＝2n＋2，
明显{2n＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，
使得数列{Sn＋λn＋}成等差数列．
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