资源描述
2022学年
第一学期
绍兴一中 期中测试试题卷
高二（理科）数学
第I卷（共30分）
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中, 只
有一项是符合题目要求的．
1.已知直线，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.下列命题错误的是（ ）
A．命题“”的逆否命题为“”
B．命题“”的否定是“”
C．“”是“或”的必要不充分条件
D．“若”的逆命题为真
3.过点且与直线平行的直线方程是( )
. . . .
4.已知两个平面、，直线，则“”是“直线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.一个四周体的顶点在空间直角坐系O-xyz中的坐标分别是（1，0，0），（0，0，1），
（0，1，0），（1，1，1），画该四周体三视图中的正视图时，以zOy平面为投影面，则得到的正视图可为（ ）
6.对于命题和命题，则“为真命题”的必要不充分条件是（ ）
A. 为假命题 B. 为真命题 C. 为假命题D. 为真命题
7.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知为异面直线，平面，平面.直线满足，则（ ）
A．，且 B．，且
C．与相交，且交线平行于 D． 与相交，且交线垂直于
9.如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.在棱长为1的正方体中,点,分别是线段,(不包括端点)上的动点,且线段平行于平面,则四周体的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题部分 （共70分）
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．
11.，，则 ；
12. 直线过点P(5,6)，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线方程为__________________________；
13. 若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是 ；
14. 已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ；
15. 正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时四周体外接的球表面积为____________ ；
16.四周体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，，则 ；
17.已知四棱锥，其底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示。
（1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为 ；
（2）关于该四棱锥的下列结论中：
①四棱锥中至少有两组侧面相互垂直；
②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；
③四棱锥中不行能存在四组相互垂直的侧面
全部正确结论的序号是 。
三、解答题: 本大题共5小题, 共42分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
18.设命题p：函数的定义域为R；
命题q：关于x的不等式，对一切正实数x均成立．
（1）假如p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）假如命题“p或q”为真命题且“p且q”假命题，求实数a的取值范围．
19.如图，直线过点P(0,1)，夹在两已知直线和之间的线段AB恰被点P平分.
（1）求直线的方程；
（2）设点D(0,m)，且AD//，求：ABD的面积.
20.如图，四棱锥的底面为矩形，且，
，，
（Ⅰ）平面与平面是否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
21. 如图：直角梯形中，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图的位置，使．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）求面与面所成锐二面角的余弦值.
22.在如图所示的几何体中，底面为菱形，，,且，平面，
底面.
（Ⅰ）求二面角的大小；
（Ⅱ）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由.
附加题：（共10分）
1．已知三棱锥S–ABC是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O是底面∆ABC内的一点，
则G=的最小值是______________
2．命题p：正实数满足；命题q：正实数满足，若“p∧q”为真命题，则的取值范围是 ．
2022学年第一学期
绍兴一中 高二数学期中考答题纸
（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11、 . 12、 . 13、 . 14、
15、 . 16、 . 17、 .
三、解答题
18、（本小题满分8分）
解：
19、（本小题满分8分）
解：
20、（本小题满分8分）
解：
21、（本小题满分10分）
解：
22、（本小题满分8分）
解：
附加题：（共10分）
1．已知三棱锥S–ABC是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O是底面∆ABC内的一点，
则G=的最小值是______________
2．命题p：正实数满足；命题q：正实数满足，若“p∧q”为真命题，则的取值范围是
2022学年
第一学期
绍兴一中 期中测试答案
高二（理科）数学
4. 已知两个平面、，直线，则“”是“直线”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 一个四周体的顶点在空间直角坐系O-xyz中的坐标分别是（1，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，1，1），画该四周体三视图中的正视图时，以zOy平面为投影面，则得到的正视图可为（ A ）
6. 对于命题和命题，则“为真命题”的必要不充分条件是（ D ）
A. 为假命题 B. 为真命题 C. 为假命题D. 为真命题
7. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ C ）
A. B. C. D.
8. 已知为异面直线，平面，平面.直线满足，则（ C ）
A．，且 B．，且
C．与相交，且交线平行于 D． 与相交，且交线垂直于
9. 如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
10. 在棱长为1的正方体中,点,分别是线段,(不包括端点)上的动点,且线段平行于平面,则四周体的体积的最大值为（ B ）
A、 B、 C、 D、
第Ⅱ卷 非选择题部分 （共70分）
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．
11. ．=(4，-2，-4)，=(6，-3，2)，则(2-3)(+2)= -200 。
12. 直线过点P(5,6)，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线方程为__________________________
【答案】x+2y-17=0 和 6x-5y=0
13. 若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是 1/2£m£1
14. 已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
15. 正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时四周体外接球表面积为____________ .
16.四周体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，，则 ．
【答案】：．
17.已知四棱锥，其底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示。
（1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为 ；
（2）关于该四棱锥的下列结论中：
①四棱锥中至少有两组侧面相互垂直；
②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；
③四棱锥中不行能存在四组相互垂直的侧面
全部正确结论的序号是 ①②③ 。
三、解答题: 本大题共5小题, 共42分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
18. 设命题p：函数的定义域为R；
命题q：关于x的不等式，对一切正实数x均成立．
（1）假如p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）假如命题“p或q”为真命题且“p且q”假命题，求实数a的取值范围．
【答案】≥0，0≤≤2--
【解析】（1），R恒成立得，解得-------------2分
（2）∵，∴，＜0，------------------4分
故≥0，---------------------------------------------------------------------------------6分
由“p或q”为真命题且“p且q”假命题得0≤≤2-------------------------8分
19. 如图，直线过点P(0,1)，夹在两已知直线和之间的线段AB恰被点P平分.
（1）求直线的方程；
（2）设点D(0,m)，且AD//，求：ABD的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：(1) 先点在直线上设出点的坐标，由于为线段的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，得出的坐标，把的坐标代入直线，即可求出的坐标，然后由和的坐标，利用两点式即可写出直线的方程．
(2)由(1)知的坐标, 由AD// 即可得的坐标,由点到直线距离公式可求得点到的距离,再由两点间距离公式求得的长度.
试题解析：
（1）点B在直线上，可设，又P（0,1）是AB的中点，
点A在直线上，
解得，即
故直线的方程是
（2）由（1）知，又，则
点A到直线的距离，
，
考点：两条直线的交点坐标；直线的一般式方程与直线的平行关系．
20. 【浙江省温州八校2021届高三9月期初联考】（本题满分14分）如图，四棱锥的底面为矩形，且，
，，
（Ⅰ）平面与平面是否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（I）平面平面； ………………1分
证明：由题意得且
又，则 …………………………3分
则平面, ………………5分
故平面平面 ………………7分
（Ⅱ）以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立
空间直角坐标系如右图示，则,, 可得, 9分
平面ABCD的单位法向量为， ……………………………………11分
设直线PC与平面ABCD所成角为，则 ………13分
则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 ……………………………14分
21. 如图：直角梯形中，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图的位置，使．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）求面与面所成锐二面角的余弦值.
（1）证明：
面面 ，又面，所以平面
（Ⅱ）解：由于平面 所以的体积=的体积=的体积
取的中点，连接 ，平面
又平面，
面，所以三棱锥的体积
（Ⅲ）解：方法1 以中点为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则、、、,所以的中点坐标为,由于，
所以，易知是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为
由
令则，，
所以面与面所成锐二面角的余弦值为。
方法2 延长EA到,连接,,所以
在梯形中，有,取中点N可得
,由是等边三角形可得, 由于,所以,为所求角. ,
22.在如图所示的几何体中，底面为菱形，，,且，平面，底面.
（Ⅰ）求二面角的大小；
（Ⅱ）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由.
，设平面的法向量为，
附加题：1．已知三棱锥S–ABC是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O是底面∆ABC内的一点，
则G=的最小值是______________
2．命题p：正实数满足；命题q：正实数满足，若“p∧q”为真命题，则的取值范围是 ．
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