2022高考总复习(人教A版)高中数学-专题讲-座三-不等式恒成立问题.docx

专题讲座三　不等式恒成立问题

含参不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以各种形式毁灭在高中数学的各部分内容中，扮演着重要的角色．解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略．
1．变换主元，转化为一次函数问题
　求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．
[解]　将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
由于f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得，即，解得x<2或x>4.
[规律方法]　在含参不等式恒成立的问题中，参数和未知数是相互牵制、相互依靠的关系．本题已知参数a的取值范围，求x的取值范围，若能转换两者在问题中的地位，则关于x的不等式就马上转化为关于a的不等式，问题便迎刃而解了．
2．联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题
　已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．2－2<m<2＋2　　　 B．m<2
C．m<2＋2 D．m≥2＋2
[解析]　令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，
则对于方程f(t)＝0有Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0
或，
解得m<2＋2.
[答案]　C
[规律方法]　1.解答此类问题一般把问题转化为关于x的函数，即问题就等价于函数f(x)的图象在区间(a，b)内的部分位于x轴上方，结合二次函数的图象，依据二次函数的性质就可以列出m所满足的不等关系．
2．在利用换元法简化运算时，需留意换元后自变量的取值范围．
3．分别参变量，构造函数求最值
　已知定义在R上的函数f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，对于任意x∈R，求实数m的取值范围，使f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0恒成立．
[解]　∵f(x)在R上为奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
又∵f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0，
∴f(cos 2θ－3)>－f(4m－2mcos θ)＝f(2mcos θ－4m)，
∴cos 2θ－3>2mcos θ－4m，
即2m(2－cos θ)>3－cos 2θ，
∵2－cos θ∈[1，3]，∴2m>＝，
∴m>.
令2－cos θ＝t，t∈[1，3]，∴m>4－，
即4－m<t＋在t∈[1，3]上恒成立．
即求g(t)＝t＋在t∈[1，3]上的最小值．
∵g(t)＝t＋≥2，等号成立的条件是t＝，
即t＝∈[1，3]成立．
∴g(t)min＝2，∴4－m<2，即m>4－2.
∴m的取值范围为(4－2，＋∞)．
[规律方法]　这类问题经常用到下面的结论：若函数f(x)存在最小值，则a≤(<)f(x)恒成立⇔a≤(<)f(x)min；若函数f(x)存在最大值，则a≥(>)f(x)恒成立⇔a≥(>)f(x)max.
4．转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数
　是否存在实数a，使得关于x的不等式3x2－logax<0在0<x<时恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解]　由题意知，“关于x的不等式3x2－logax<0在0<x<时恒成立”等价于“3x2<logax在x∈内恒成立”．若a>1，在同一平面直角坐标系内，分别作出函数y＝3x2和y＝logax的大致图象，如图(1)所示，观看两函数图象，当x∈时，函数y＝logax的图象明显在函数y＝3x2图象的下方，所以不等式不成立；若0<a<1，在同一平面直角坐标系内，分别作出函数y＝3x2和y＝logax的大致图象，如图(2)所示，观看两函数图象，则loga≥，故a≥，即≤a<1.

综上，存在实数a∈，使得关于x的不等式3x2－logax<0在0<x<时恒成立．
[规律方法]　数形结合法是解不等式恒成立问题的一种格外直观的方法，其解题原理是：f(x)<g(x)恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象下方，此方法特殊适用于解两边是不同类型的不等式恒成立题型．

1．设a∈R，则“<0”是“|a|<1”成立的(　　)
A．充要条件　　　　 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由于a2－a＋1＝＋>0，所以由<0，得a<1，不能得出|a|<1；反过来，由|a|<1，得－1<a<1，所以<0.因此，“<0”是“|a|<1”成立的必要不充分条件．
2．(2021·湖北七市模拟)不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－4，2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选C.不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x<.
∵＋≥2＝8(当且仅当a＝4b时等号成立)，
∴x2＋2x<8，解得－4<x<2，故选C.
3．(2021·保定市高三调研)若函数f(x)＝x3＋3x对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x∈________.
解析：由题意可知f(x)为奇函数，且在定义域内为增函数，∴f(mx－2)＋f(x)<0可变形为f(mx－2)<f(－x)，∴mx－2<－x，将其看作关于m的一次函数g(m)＝x·m－2＋x，m∈[－2，2]，可得当m∈[－2，2]时，g(m)<0恒成立，由g(2)<0，g(－2)<0，解得－2<x<.
答案：
4．(2021·广东六校联考)设函数f(x)＝lg(a≠0)，若对任意实数b，函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：函数f(x)的定义域为R，
则满足
即对任意实数b恒成立，只要4a大于的最大值即可，而的最大值为4，即4a>4，a>1.
答案：(1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解：由于x∈[1，＋∞)，所以f(x)＝>0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立．
即当x≥1时，a>－(x2＋2x)恒成立．令g(x)＝－(x2＋2x)．
由于g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.
6．已知函数f(x)＝aln x＋x2(a为实常数)．
(1)若a＝－2，求函数f(x)的单调区间；
(2)若对∀x∈[1，e]，使得f(x)≤(a＋2)x恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－2时，f(x)＝x2－2ln x，
所以f′(x)＝.
令f′(x)＝>0，
得－1<x<0或x>1，
且定义域为(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．
令f′(x)＝<0，
得x<－1或0<x<1，且定义域为(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调减区间是(0，1)．
(2)不等式f(x)≤(a＋2)x可化为a(x－ln x)≥x2－2x.
由于x∈[1，e]，所以ln x≤1≤x，且等号不能同时取，
所以ln x<x，即x－ln x>0.
因而a≥(x∈[1，e])．
令g(x)＝(x∈[1，e])，
则g′(x)＝，
当x∈[1，e]时，x－1≥0，0≤ln x≤1，
x＋2－2ln x>0，
从而g′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)．
所以g(x)在[1，e]上为增函数．
故[g(x)]max＝g(e)＝.
所以a的取值范围是.