2022高考总复习(人教A版)高中数学-专题讲-座三-不等式恒成立问题.docx

专题讲座三不等式恒成立问题含参不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以各种形式毁灭在高中数学的各部分内容中，扮演着重要的角色解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略1变换主元，转化为一次函数问题求使不等式x2(a6)x93a0，|a|1恒成立的x的取值范围解将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9.由于f(a)0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得，即，解得x4.规律方法在含参不等式恒成立的问题中，参数和未知数是相互牵制、相互依靠的关系本题已知参数a的取值范围，求x的取值范围，若能转换两者在问题中的地位，则关于x的不等式就马上转化为关于a的不等式，问题便迎刃而解了2联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题已知x(0，)时，不等式9xm3xm10恒成立，则m的取值范围是()A22m22Bm2Cm1)，则由已知得函数f(t)t2mtm1的图象在t(1，)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)0有(m)24(m1)0或，解得m0恒成立解f(x)在R上为奇函数，且在0，)上是增函数，f(x)在(，)上为增函数又f(cos 23)f(4m2mcos )0，f(cos 23)f(4m2mcos )f(2mcos 4m)，cos 232mcos 4m，即2m(2cos )3cos 2，2cos 1，3，2m，m.令2cos t，t1，3，m4，即4mt在t1，3上恒成立即求g(t)t在t1，3上的最小值g(t)t2，等号成立的条件是t，即t1，3成立g(t)min2，4m42.m的取值范围为(42，)规律方法这类问题经常用到下面的结论：若函数f(x)存在最小值，则a()f(x)恒成立a()f(x)恒成立a()f(x)max.4转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数是否存在实数a，使得关于x的不等式3x2logax0在0x时恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解由题意知，“关于x的不等式3x2logax0在0x时恒成立”等价于“3x21，在同一平面直角坐标系内，分别作出函数y3x2和ylogax的大致图象，如图(1)所示，观看两函数图象，当x时，函数ylogax的图象明显在函数y3x2图象的下方，所以不等式不成立；若0a1，在同一平面直角坐标系内，分别作出函数y3x2和ylogax的大致图象，如图(2)所示，观看两函数图象，则loga，故a，即a1.综上，存在实数a，使得关于x的不等式3x2logax0在0x时恒成立规律方法数形结合法是解不等式恒成立问题的一种格外直观的方法，其解题原理是：f(x)g(x)恒成立f(x)的图象在g(x)的图象下方，此方法特殊适用于解两边是不同类型的不等式恒成立题型1设aR，则“0”是“|a|0，所以由0，得a1，不能得出|a|1；反过来，由|a|1，得1a1，所以0.因此，“0”是“|a|1”成立的必要不充分条件2(2021湖北七市模拟)不等式x22x对任意a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是()A(2，0) B(，2)(0，)C(4，2) D(，4)(2，)解析：选C.不等式x22x对任意a，b(0，)恒成立，等价于x22x.28(当且仅当a4b时等号成立)，x22x8，解得4x2，故选C.3(2021保定市高三调研)若函数f(x)x33x对任意的m2，2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x_.解析：由题意可知f(x)为奇函数，且在定义域内为增函数，f(mx2)f(x)0可变形为f(mx2)f(x)，mx2x，将其看作关于m的一次函数g(m)xm2x，m2，2，可得当m2，2时，g(m)0恒成立，由g(2)0，g(2)0，解得2x4，a1.答案：(1，)5已知函数f(x)，若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解：由于x1，)，所以f(x)0恒成立，即x22xa0恒成立即当x1时，a(x22x)恒成立令g(x)(x22x)由于g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减，所以g(x)maxg(1)3，故a3.6已知函数f(x)aln xx2(a为实常数)(1)若a2，求函数f(x)的单调区间；(2)若对x1，e，使得f(x)(a2)x恒成立，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，当a2时，f(x)x22ln x，所以f(x).令f(x)0，得1x1，且定义域为(0，)，所以函数f(x)的单调增区间是(1，)令f(x)0，得x1或0x1，且定义域为(0，)，所以函数f(x)的单调减区间是(0，1)(2)不等式f(x)(a2)x可化为a(xln x)x22x.由于x1，e，所以ln x1x，且等号不能同时取，所以ln x0.因而a(x1，e)令g(x)(x1，e)，则g(x)，当x1，e时，x10，0ln x1，x22ln x0，从而g(x)0(当且仅当x1时取等号)所以g(x)在1，e上为增函数故g(x)maxg(e).所以a的取值范围是.