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规范练(一) 三角函数与解三角形
1.已知函数f(x)=sin ωx-sin2+(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈[0,]时,求函数f(x)的最值.
解 (1)f(x)=sin ωx-+=sin ωx+cos ωx=sin ,由于f(x)的最小正周期为π,所以ω=2,所以f(x)=sin ,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,
∴当2x+=,即x=时,f(x)的最大值为1,
当2x+=,即x=时,f(x)的最小值为-.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角A=,sin B=3sin C.
(1)求tan C的值;
(2)若a=,求△ABC的面积.
解 (1)由于A=,所以B+C=,故sin =3sin C,所以cos C+sin C=3sin C,即cos C=sin C,得tan C=.
(2)由=,sin B=3sin C,得b=3c.
在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2,又∵a=,∴c=1,b=3,所以△ABC的面积为S=bcsin A=.
3.已知向量m=(cos A,-sin A),n=(cos B,sin B),m·n=cos 2C,其中A,B,C为△ABC的内角.
(1)求角C的大小;
(2)若AB=6,且·=18,求AC,BC的长.
解 (1)m·n=cos Acos B-sin Asin B=cos (A+B),由于A+B+C=π,所以cos (A+B)=-cos C=cos 2C,
即2cos2C+cos C-1=0,
故cos C=或cos C=-1.
又0<C<π,所以C=.
(2)由于·=18,所以CA·CB=36,①
由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos ,及AB=6和①得,AC+BC=12,②
由①②解得AC=6,BC=6.
4.已知向量m=(sin x,1),n=(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.
(1)求A;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域.
解 (1)f(x)=m·n=Asin xcos x+cos 2x
=A=Asin .
由于A>0,由题意知A=6.
(2)由(1)得f(x)=6sin .
将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到
y=6sin =6sin 的图象;
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=6sin 的图象;
因此g(x)=6sin .
由于x∈,所以4x+∈,
故g(x)在上的值域为[-3,6].
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