2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：选修4-2-矩阵与变换.docx

选修4-2 矩阵与变换
1．已知矩阵A＝，B＝，C＝，求满足AXB＝C的矩阵X.
解 AXB＝C，所以(A－1A)XB·B－1＝A－1CB－1
而A－1AXB·B－1＝EXBB－1
＝X(BB－1)＝X，所以X＝A－1CB－1
由于A－1＝，
B－1＝，
所以X＝A－1CB－1
＝
＝
＝.
2．设圆F：x2＋y2＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)对应的变换下变换成另一图形F′，试求变换矩阵M及图形F′的方程．
解 ∵＝＝，
∴M＝.
∵圆上任意一点(x，y)变换为(x′，y′)＝(x＋2y，y)，
∴，
即.
∵x2＋y2＝1，
∴(x′－2y′)2＋(y′)2＝1.
即F′的方程为(x－2y)2＋y2＝1.

(1)求实数a、b、c、d的值；
(2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
解　(1)由题设得：解得
(2)∵矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)，
∴可取直线y＝3x上的两点(0，0)，(1，3)，

得点(0，0)，(1，3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0，0)，(－2，2)．
从而，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y＝－x.
4．已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝，求矩阵A.
解　由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1，
即 ＝－1×，得
同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.
因此矩阵A＝.
5．设矩阵M＝(其中a>0，b>0)．
(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；
(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a、b的值．
解　(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，
则MM－1＝.
又M＝.∴ ＝.
∴2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1，
即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，
故所求的逆矩阵M－1＝.
(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，即又点P′(x′，y′)在曲线C′上，
∴＋y′2＝1.则＋b2y2＝1为曲线C的方程．
又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故
又a>0，b>0，∴
6．给定矩阵M＝，N＝，向量α＝.
(1)求证：M和N互为逆矩阵；
(2)求证：向量α同时是M和N的特征向量；
(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值．
解 (1)证明：因MN＝
＝，
且NM＝＝，
所以M和N互为逆矩阵．
(2)证明：由于Mα＝＝，
所以α是N的特征向量．
由于Nα＝＝，
所以α是N的特征向量．
(3)由(2)知，M对应于特征向量的特征值为1，N对应于特征向量的特征值也为1，
故1是矩阵M和N的一个公共特征值．