资源描述
第1讲 导数的概念及其运算
考试要求 1.导数概念及其实际背景，A级要求；2.导数的几何意义，B级要求；3.依据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数，A级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简洁函数的导数，B级要求；
知 识 梳 理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
①定义：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln a(a>0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
诊 断 自 测
1．思考辨析(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(×)
(2)曲线的切线不愿定与曲线只有一个公共点．(√)
(3)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(×)
(4)物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t＝2.( ×)
2．(2021·镇江调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________．
解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，由于切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.
答案
3．(苏教版选修1－1P82T4改编)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于______．
解析 依题意知，y′＝3x2＋a，则由此解得所以2a＋b＝1.
答案 1
4．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
解析 设ex＝t，则x＝ln t(t＞0)，
∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.
答案 2
5．(2022·江西卷)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析 令f (x)＝xln x，则f ′(x)＝ln x＋1，
设P(x0，y0)，则f ′(x0)＝ln x0＋1＝2，∴x0＝e，此时y0＝x0ln x0＝eln e＝e，∴点P的坐标为(e，e)．
答案 (e，e)
考点一 利用定义求函数的导数
【例1】 利用导数的定义求函数f(x)＝x3的导数．
解 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3－x3
＝x3＋3x·(Δx)2＋3x2·Δx＋(Δx)3－x3
＝Δx[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]，
∴＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2，
∴f′(x)＝ ＝ [3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
规律方法 定义法求函数的导数的三个步骤
一差：求函数的转变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．
二比：求平均变化率＝.
三极限：取极限，得导数y′＝f′(x)＝.
【训练1】 函数y＝x＋在[x，x＋Δx]上的平均变化率＝________；该函数在x＝1处的导数是________．
答案 1－ 0
考点二 导数的计算
【例2】分别求下列函数的导数：
(1)(2021·苏州调研)已知f (x)＝x2＋2xf ′(2 014)＋2 014ln x，则f ′(2 014)＝________.
解析 由题意得f ′(x)＝x＋2f ′(2 014)＋，
所以f ′(2 014)＝2 014＋2f ′(2 014)＋，
即f ′(2 014)＝－(2 014＋1)＝－2 015.
答案 －2 015
(2)分别求下列函数的导数：
①y＝ex·cos x；②y＝x；
③y＝x－sin cos ；④y＝
解 ①y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x.
②∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.
③∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，
∴y′＝′＝1－cos x.
④y′＝＝
＝＝.
规律方法 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以削减运算量，提高运算速度，削减差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避开使用商的求导法则，削减运算量．
【训练2】 分别求下列函数的导数：
(1)y＝＋；
(2)y＝sin2；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
解 (1)∵y＝＋＝，
∴y′＝＝.
(2)∵y＝sin2＝(1－cos x)，
∴y′＝－(cos x)′＝－·(－sin x)＝sin x.
(3)法一 ∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.
法二 y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝3x2＋12x＋11.
考点三 导数的几何意义
【例3】 (2021·北京卷改编)已知曲线C：y＝.
(1)求曲线C在点(1,0)处的切线l1的方程；
(2)求过原点与曲线C相切的直线l2的方程．
解 设f(x)＝，则f′(x)＝.
(1)∴f′(1)＝＝1，即切线l1的斜率k＝1.
由l1过点(1,0)，得l1的方程为y＝x－1.
(2)设l2与曲线C切于点P，
则切线l2方程为
y－＝(x－x0)，
∵l2过原点．∴－＝·(－x0)，
化简得ln x0＝，∴x0＝，
∴l2：y－＝(x－)，
整理得y＝x.即为l2的方程.
规律方法 求切线方程时，留意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线方程是y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
【训练3】 (1)(2021·南京调研)曲线y＝x＋sin x在点(0,0)处的切线方程是________．
(2)(2021·惠州调研)已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)且与曲线y＝f(x)相切的切线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________．
解析 (1)∵y＝x＋sin x，∴y′＝1＋cos x，当x＝0时，y′＝1＋cos 0＝2，故曲线y＝x＋sin x在点(0,0)处的切线方程是y－0＝2(x－0)，即2x－y＝0.
(2)先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线y0＝x－3x0上．①
求导数得到切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，
又切线l过点A、M两点，所以k＝，
则3x－3＝②
联立①、②可解得x0＝－2，y0＝－2，
从而实数a的值为a＝k＝＝9.
答案 (1)2x－y＝0 (2)9
[思想方法]
1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，即f′(x)在x＝x0处的函数值．(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数确定为0，即(f(x0))′＝0.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特殊留意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必需留意变换的等价性，避开不必要的运算失误．
[易错防范]
1．利用公式求导时要特殊留意不要将幂函数的求导公式(xn)′＝nxn－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln x混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区分，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线与直线相切并不愿定只有一个公共点．例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8).
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2022·苏北四市模拟)曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为________．
解析 依据导数运算法则可得y′＝ex＋xex＋2＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线斜率为y′|x＝0＝1＋2＝3.故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即3x－y－1＝0.
答案 3x－y－1＝0
2．(2021·苏、锡、常、镇四市调研)直线y＝kx与曲线y＝2ex相切，则实数k＝________.
解析 设直线y＝kx与曲线y＝2ex相切的切点坐标为(x0,2ex0)，且y′＝2ex，则切线方程为y－2ex0＝2ex0(x－x0)，切线经过坐标原点，代入点(0,0)，解得x0＝1，则实数k＝2ex0＝2e.
答案 2e
3．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析 ∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，∴f′＝－f′sin ＋cos ，∴f′＝－1，
∴f＝(－1)cos ＋sin ＝1.
答案 1
4．已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点横坐标为________．
解析 设切点坐标为(x0，y0)(x0＞0)，∵y′＝x－，
∴y′|x＝x0＝x0－＝－，即x＋x0－6＝0，
解得x0＝2或－3(舍)．
答案 2
5．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
解析 y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.由题意得解得则a＋b＝－3.
答案 －3
6.
如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
解析 如图可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，因此f(5)＋f′(5)＝2.
答案 2
7．(2021·扬州调研)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(x＞0)．
答案 [2，＋∞)
8．已知f 1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f 2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝f ′2(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f 2 015(x)＝________.
解析 ∵f 1(x)＝sin x＋cos x，∴f 2(x)＝f 1′(x)＝cos x－sin x，∴f 3(x)＝f 2′(x)＝－sin x－cos x，∴f 4(x)＝f 3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f 5(x)＝f 4′(x)＝sin x＋cos x，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f 2 015(x)＝f 3(x)＝－sin x－cos x，故选A.
答案 －sin x－cos x
二、解答题
9．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
解 (1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
10．设抛物线C: y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解 (1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①
y1＝－x＋x1－4，②
①代入②得x＋x1＋4＝0.
∵P为切点，∴Δ＝2－16＝0得k＝或k＝.当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.
当k＝时，x1＝2，y1＝1.
∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝.
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程得x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2＝9，
∴x2＝，y2＝－4.∴Q点的坐标为.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
1．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
解析 y′＝－＝－.设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈.
答案
2．(2022·武汉中学月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015的值为________．
解析 f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，
点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，
∴x1·x2·…·x2 015＝×××…××＝，则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015＝log2 016(x1x2…x2 015)＝－1.
答案 －1
3．已知f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________.
解析 令g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f(x)＝xg(x)，∴f′(x)＝g(x)＋x·g′(x)．
∴f′(0)＝g(0)＝(－1)·(－2)·(－3)·(－4)·(－5)＝－120.
答案 －120
4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
(1)解 方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是
解得故f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
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第2讲 导数在争辩函数中的应用
考试要求 1.函数单调性与导数的关系，A级要求；2.利用导数争辩函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求；3.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，A级要求；4.利用导数求函数的极大值、微小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求．
知 识 梳 理
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增．
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．
2．函数的极值与导数
极大值
函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0四周左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫做函数的极大值
微小值
函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0四周左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则x0为函数的微小值点，f(x0)叫做函数的微小值
3.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
假如在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
诊 断 自 测
1．思考辨析(在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．(×)
(2)函数的极大值不愿定比微小值大．(√)
(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)
(4)函数的最大值不愿定是极大值，函数的最小值也不愿定是微小值．(√)
2.(2021·北京海淀区模拟)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是________．
解析 ∵f′(x)＝2x－＝(x＞0)．
∴当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)为递减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为递增函数．
答案 (0,1)
3．(苏教版选修2－2P34T8(2)改编)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________．
解析 ∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
∴f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．
∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.
答案 2
4．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的微小值点的个数为________．
解析 由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号左负右正．
答案 1
5．(2022·新课标全国Ⅱ卷改编)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________．
解析 依题意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≥在(1，＋∞)上恒成立，
∵x＞1，∴0＜＜1，∴k≥1.
答案 [1，＋∞)
考点一 利用导数争辩函数单调性
【例1】 已知f(x)＝ln x－ax.
(1)争辩f(x)的单调性；
(2)若f(x)在(1,2)上单调递减，求实数a的范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a.
①当a≤0时，∵x＞0，∴f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝∈(0，＋∞)，
当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在上单调递增；
在上单调递减．
综上：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，f(x)在上单调递增；
在上单调递减．
(2)法一 ∵f(x)在(1,2)上为减函数，
由(1)知a＞0，且(1,2).
故∴a≥1.
法二 f(x)在(1,2)上单调递减，
∴f′(x)＝－a≤0在(1,2)上恒成立，
即a≥在(1,2)上恒成立，
∵x∈(1,2)时，＜1，
∴a≥1，即a的范围为[1，＋∞)．
规律方法 (1)利用导数争辩函数的单调性的关键在于精确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类争辩．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要留意“＝”是否可以取到．
【训练1】 (2022·山东卷)设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)争辩函数f(x)的单调性．
解 (1)由题意知a＝0时，f(x)＝，
此时f′(x)＝.
可得f′(1)＝，又f(1)＝0，
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，
f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，
f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝.
由x1＝＝＞0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
综上可得：
当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜a＜0时，
f(x)在，
上单调递减，
在上单调递增．
考点二 利用导数求函数的极值
【例2】 (2022·重庆卷)已知函数f (x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f (x)的单调区间与极值．
解 (1)对f (x)求导得f ′(x)＝－－，
由f (x)在点(1，f (1)处的切线垂直于直线y＝x，知f ′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f (x)＝＋－ln x－，
则f ′(x)＝.
令f ′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
由于x＝－1不在f (x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f ′(x)＜0，故f (x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f ′(x)＞0，故f (x)在(5，＋∞)内为增函数．
由此知函数f (x)在x＝5时取得微小值f (5)＝－ln 5.
规律方法 (1)可导函数y＝f (x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同．(2)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f (x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
【训练2】 设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a＞0)．
(1)当a＝1，且函数图象过(0,1)时，求函数的微小值；
(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围．
解 由题得f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)函数图象过(0,1)时，有f(0)＝c＝1.
当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1.
令f′(x)＞0，解得x＜或x＞1；
令f′(x)＜0，解得＜x＜1.
所以函数在和(1，＋∞)上单调递增，
在上单调递减，微小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.
(2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，明显不满足条件；
②当a≠0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，
即16－12a≤0，解得a≥.
综上，a的取值范围为.
考点三 利用导数求函数的最值
【例3】 (2022·江西卷)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a＜0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．
解 (1)当a＝－4时，由f′(x)＝＝0得x＝或x＝2，
由f′(x) ＞0得x∈或x∈(2，＋∞)，
故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)．
(2)f′(x)＝，a＜0，
由f′(x)＝0得x＝－或x＝－.
当x∈时，f(x)单调递增；
当x∈时，f(x)单调递减；
当x∈时，f(x)单调递增．
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.
深度思考 对于第(2)小问，已知函数f (x)在某个闭区间上的最值，求参数值，一般解法你了解吗？(先求f (x)的最值再解方程求参数)
①当－≤1，即－2≤a＜0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．
②当1＜－≤4，即－8≤a＜－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f＝0，不符合题意．
③当－＞4，即a＜－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．综上，a＝－10.
规律方法 (1)不含参数求f(x)在[a，b]上的最值时，只需把f(x)的极值与端点函数值进行比较．其中最大的是最大值，最小的是最小值．(2)含参数时，应留意争辩f(x)在相应区间上的单调性，进而求最值．
【训练3】 已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
解 (1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化状况如下：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－ek－1
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当1＜k＜2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
[思想方法]
1．最值与极值的区分与联系
(1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域或区间内的函数值得出的，具有确定性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点四周函数值得出的，具有相对性．
(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不唯一．
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有．
2．求极值、最值时，要求步骤规范；含参数时，要按确定标准争辩参数．
3．在实际问题中，假如函数在区间内只有一个极值点，那么只要依据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
[易错防范]
1．留意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必需在函数的定义域内进行．
2．求函数最值时，不行想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．
3．解题时要留意区分求单调性和已知单调性的问题，f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应留意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为________．
解析 f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，所以f(x)的递增区间是(1，＋∞)，递减区间是(0,1)．
答案 (0,1)
2．(2021·扬州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
解析 由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
解得或
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
答案 －7
3．f(x)＝x3－12x，x∈[－3,3]的最大值为________，最小值为________．
解析 f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝±2，
∵f(－3)＝9，f(3)＝－9，
f(－2)＝16，f(2)＝－16，
∴f(x)最大值为16，最小值为－16.
答案 16 －16
4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是________．
解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.
答案 (－∞，－1)
5．(2021·福建卷改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论确定正确的是________(填序号)．
①∀x∈R，f(x)≤f(x0)；
②－x0是f(－x)的微小值点；
③－x0是－f(x)的微小值点；
④－x0是－f(－x)的微小值点．
解析 ①错，由于极大值未必是最大值；②错，由于函数y＝f(x)与函数y＝
f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；③错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的微小值点；④正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的微小值点．
答案 ④
6．(2021·成都诊断)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析 由已知可得f′(x)＝2x－，
要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，
f′(x)≥0恒成立，即2x－≥0，
则a≤2x3恒成立，又当x≥2时，2x3≥16，
故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．
答案 (－∞，16]
7．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f(－4)，f，f的大小关系为________(用“<”连接)．
解析 ∵f′(x)＝sin x＋xcos x，当x∈时，sin x<0，cos x<0，
∴f′(x)＝sin x＋xcos x<0，
则函数f(x)在区间上为减函数，
∵<4<，∴f<f(4)<f，
又函数f(x)为偶函数，∴f<f(－4)<f.
答案 f<f(－4)<f
8．若函数y＝x3－3ax在区间[1,2]上单调，则实数a的范围为________．
解析 y′＝3x2－3a＝3(x2－a)，
由题意x2－a＝0在(1,2)内无解．
即a＝x2，x∈(1,2)无解，
∵x∈(1,2)时，1＜x2＜4，
∴a＝x2无解的a范围为a≤1或a≥4.
答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)
二、解答题
9．(2022·湘潭检测)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝－3x＋1.
(1)若函数f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的解析式；
(2)函数f(x)在区间[－2,0]上单调递增，求实数b的取值范围．
解 f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－3，所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，
即2a＋b＝0 ①，
又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1 ②.
(1)函数f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0 ③，由①②③解得a＝－2，b＝4，c＝－3，
所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.
(2)由于函数f(x)在区间[－2,0]上单调递增，所以导函数f′(x)＝－3x2－bx＋b在区间[－2,0]上的值恒大于或等于零，则
得b≥4，所以实数b的取值范围是[4，＋∞)．
10．设函数f(x)＝x－－aln x(a∈R)．
(1)争辩函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k，是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4，
①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a＜－2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
③当a＞2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根为x1＝＞0，x2＝＞1，
当0＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x＞x2时，f′(x)＞0，
故f(x)在，上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，a＞2.
由于f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，
所以k＝＝1＋－a·，
又由(1)知，x1x2＝1，
于是k＝2－a·，
若存在a，使得k＝2－a，则＝1，
即ln x1－ln x2＝x1－x2，
即x2－－2ln x2＝0(x2＞1)，(*)
令h(t)＝t－－2ln t，t＞1，
易知函数h(t)＝t－－2ln t在(1，＋∞)上单调递增，则h(t)＞h(1
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