资源描述
其次章 数 列
§2.1 数列的概念与简洁表示法(一)
课时目标
1．理解数列及其有关概念；
2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3．对于比较简洁的数列，会依据其前n项写出它的通项公式．
1．依据确定挨次排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在其次位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n位的数称为这个数列的第n项．
2．数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}．
3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
4．假如数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
一、选择题
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
答案 B
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.，0，，0 D．2,0,2,0
答案 A
3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不行能是( )
A．an＝[1＋(－1)n－1]
B．an＝[1－cos(n·180°)]
C．an＝sin2(n·90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
答案 D
解析 令n＝1,2,3,4代入验证即可．
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．非任何一项
答案 C
解析 n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
答案 C
解析 令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排解A、B、D，从而选C.
6．设an＝＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么an＋1－an等于( )
A. B.
C.＋ D.－
答案 D
解析 ∵an＝＋＋＋…＋
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝.则它的前4项依次为____________．
答案 4,7,10,15
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第______项．
答案 10
解析 ∵＝，
∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
答案 an＝2n＋1
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
10．传奇古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上争辩数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角外形，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．
答案 55
解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
三、解答题
11．依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…
(2)0.8,0.88,0.888，…
(3)，，－，，－，，…
(4)，1，，，…
(5)0,1,0,1，…
解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的确定值的排列规律为：后面的数的确定值总比前面数的确定值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N*)．
(2)数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，
(1－0.001)，…，∴an＝(n∈N*)．
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·(n∈N*)．
(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得它的一个通项公式为an＝(n∈N*)．
(5)an＝或an＝(n∈N*)
或an＝(n∈N*)．
12．已知数列；
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有、很多列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
(1)解 设f(n)＝
＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)解 令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明 ∵an＝＝＝1－，
又n∈N*，∴0<<1，∴0<an<1.
∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令<an＝<，则，
即.∴<n<.
又∵n∈N*，∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.
力气提升
13．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是______________________．
答案 an＝＋(－1)n＋1
解析 a＝＋，b＝－，
故an＝＋(－1)n＋1.
14．依据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中有多少个点．
解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三共性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非全部的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
3．假如一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成
an＝其中k∈N*.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
