1、第2讲基本不等式及其应用基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1(2022西安模拟)设非零实数a,b,则“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由于a,bR时,都有a2b22ab(ab)20,即a2b22ab,而2ab0,所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件,故选B.答案B2已知a0,b0,ab2,则y的最小值是()A. B4 C. D5 解析依题意,得(ab)5()(52),当且仅当即a,b时取等号,即的最小值是.答案C3若正数x,y满足4x29y23xy30,则xy的最大值是()A. B. C2 D.解析由
2、x0,y0,得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立),12xy3xy30,即xy2,xy的最大值为2.答案C4(2021金华十校模拟)已知a0,b0,a,b的等比中项是1,且mb,na,则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6解析由题意知:ab1,mb2b,na2a,mn2(ab)44.答案B5小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()Aav BvC.v Dv解析设甲、乙两地之间的距离为s.ab,v0,va.答案A二、填空题6(2022南昌适应性监测)已知向量m(2,1),n(1b,a)(a0,b0)若mn,则ab的最大值为_解
3、析依题意得2a1b,即2ab1(a0,b0),因此12ab2,即ab,当且仅当2ab时取等号,因此ab的最大值是.答案7(2022成都诊断)已知定义在(0,)上的函数f(x)3x,若f(ab)9,则f(ab)的最大值为_解析由于3ab9,所以ab22,得ab1,所以f(ab)3ab3.答案38(2022重庆卷)若log4(3a4b)log2,则ab的最小值是_解析由log4(3a4b)log2得3a4bab,且a0,b0,1,ab(ab)()7()7274,当且仅当时取等号答案74三、解答题9已知x0,y0,且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值;(2)求的最小值解(1)x0,y0
4、,由基本不等式,得2x5y2.2x5y20,220,xy10,当且仅当2x5y时,等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5,y2时,ulg xlg y有最大值1.(2)x0,y0,当且仅当时,等号成立由解得的最小值为.10(2022泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从其次年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)(1)大
5、货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润累计收入销售收入总支出)解(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元,则y25x6xx(x1)50(0x10,xN),即yx220x50(0x10,xN),由x220x500,解得105x105.而21053,故从第3年开头运输累计收入超过总支出(2)由于利润累计收入销售收入总支出,所以销售二手货车后,小王的年平均利润为y(25x)(x219x25)19,而191929,当且仅当x5时等号成立,即小王应当在第5年将大货车出售,才能使年平均利润最大力量提升题组(
6、建议用时:25分钟)11(2021西安第一中学模拟)设x,yR,a1,b1,若axby3,ab2,则的最大值为()A2 B. C1 D. 解析由axby3,得xloga3,ylogb3,则.又a1,b1,所以ab()23,所以lg ablg 3,从而1,当且仅当ab时等号成立答案C12设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当取得最大值时,的最大值为()A0 B1 C. D3解析由已知得zx23xy4y2(*)则1,当且仅当x2y时取等号,把x2y代入(*)式,得z2y2,所以11.答案B13(2022成都诊断)函数f(x)lg,若f(a)f(b)0,则的最小值为_解析依题意得0a2,0
7、b2,且lg0,即ab(2a)(2b),1,(42)2,当且仅当,即a3,b1时取等号,因此的最小值是2.答案214某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度肯定(平面图如图所示),假如池四四周墙建筑单价为400元/米,中间两道隔墙建筑单价为248元/米,池底建筑单价为80元/平方米,水池全部墙的厚度忽视不计(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价解(1)设污水处理池的宽为x米,则长为米总造价f(x)400(2x)2482x801621 296x12 9601 296(x)12 9601 296212 96038 880(元),当且仅当x(x0),即x10时取等号当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,总造价最低为38 880元(2)由限制条件知x16.设g(x)x,g(x)在,16上是增函数,当x时(此时16),g(x)有最小值,即f(x)有最小值,即为1 29612 96038 882(元)当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,总造价最低为38 882元.