2021高考数学(文)一轮知能检测：第4章-第1节-平面向量的概念及其线性运算.docx

第一节　平面对量的概念及其线性运算

[全盘巩固]
1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b
C．a∥b D．a＝2b
解析：选D　∵表示与a同向的单位向量，
∴a与b必需方向相同才能满足＝.
2. (2022·绍兴模拟)已知如图所示的向量中，＝，用，表示，则等于(　　)

A.－
B.＋
C．－＋
D．－－
解析：选C　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
3.如图所示，点D，E，F分别为边BC，AC，AB的中点，点M是△ABC的重心，则＋－等于(　　)

A．0 B．4
C．4 D．4

解析：选C　连接MF，则C，M，F三点共线，且＝2，
∴＋－＝2－(－2)＝4.
4．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则确定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：选A　＝＋＋＝3a＋6b＝3.由于与有公共点A，所以A，B，D三点共线．
5．设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为(　　)
A．3 B. C．2 D.
解析：选A　设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(＋)＋2(＋)＝0，即2＋4＝0，所以＝－2，说明M，O，N三点共线，则O为中位线MN上靠近N点一个三等分点，S△AOC＝S△ANC＝×S△ABC＝S△ABC，所以＝3.
6. (2022·石家庄模拟)已知：如图，||＝||＝1，与的夹角为120°，与的夹角为30°，若＝λ＋μ (λ、μ∈R)，则等于　　(　　)

A. B. C. D．2
解析：选D　过C作OB的平行线交OA的延长线于D.由题意可知，∠COD＝30°，
∠OCD＝90°，

∴OD＝2CD，又∵＝λ，＝μ，
∴λ||＝2μ||，即λ＝2μ，故＝2.
7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________________(用a，b表示)．
解析：由＝3，得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝(a＋b)－＝－a＋b.
答案：－a＋b
8．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．
解析：由于＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，||＝8＋5＝13；当，不共线时，3<||<13.综上可知3≤||≤13.
答案：[3,13]
9．(2022·湖州模拟)

如图，△ABC中，＋＋＝0，＝a，＝b.若＝ma，＝nb，CG∩PQ＝H，＝2，则＋＝________.
解析：由＋＋＝0，知G为△ABC的重心，取AB的中点D，则＝＝＝(＋)＝＋，由P，H，Q三点共线，得＋＝1，则＋＝6.
答案：6
10.

如图，在梯形ABCD中，||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点．若＝e1，＝e2，用e1，e2表示，，.
解：＝＝；＝＋＝－＋＝＋－＝－
＝e2－e1；
＝＋＋＝－－＋＝－＝e1－e2.
11．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，假如3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．
解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k) a＝(2k－t)b.
由于a，b不共线，所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
12．已知P为△ABC内一点，且3 ＋4 ＋5＝0，延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a、b表示向量，.
解：∵＝－＝－a，
＝－＝－b，
又3＋4 ＋5＝0，
∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，
∴＝a＋b.
设＝t (t∈R)，
则＝ta＋tb.①
又设＝k (k∈R)，
由＝－＝b－a，得＝k(b－a)．
而＝＋＝a＋.
∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②
由①②得解得t＝.
代入①得＝a＋b.
∴＝a＋b，＝a＋b.
[冲击名校]
1．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为(　　)

A. B.
C. D.
解析：选C　令＝λ ，则＝＋＝＋λ＝＋λ＝(1－λ) ＋λ；令＝μ，则＝＋＝＋μ＝＋μ＝μ＋(1－μ) .由对应系数相等可得解得所以＝＋.
2．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ (λ∈R)，＝μ (μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2·已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是(　　)
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不行能同时在线段AB的延长线上
解析：选D　依据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d＝μ.依据＋＝2，得＋＝2.线段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是线段AB的中点，则c＝，代入＋＝2得，＝0，此等式不行能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不正确；若C，D同时在线段AB上，则0<c≤1,0<d≤1，此时≥1，≥1，＋≥2，若等号成立，则只能c＝d＝1，依据定义，C，D是两个不同的点，冲突，故选项C的说法也不正确；若C，D同时在线段AB的延长线上，即c>1，d>1，则＋<2，与＋＝2冲突，若c<0，d<0，则＋是负值，与＋＝2冲突，若c>1，d<0，则<1，<0，此时＋<1，与＋＝2冲突，故选项D的说法是正确的．