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第3讲 坐标系与曲线的极坐标方程
1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，求点到直线l的距离．
解 ∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)∴点到直线l的距离为2.
2．(2022·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，求点A到圆心C的距离．
解 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为
x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为
＝2.
3．求圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程．
解 如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，
则OP＝ρ，∠POA＝θ－，
OA＝2×3＝6，
在Rt△OAP中，OP＝OA×cos∠POA，
∴ρ＝6cos.
∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos.
4．(2021·苏、锡、常、镇四市调研)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程．
解 法一 以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，
则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心C为(1,0)．
直线θ＝的直角坐标方程为y＝x.
由于圆C(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，
所以圆C关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1，
所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
法二 设曲线ρ＝2cos θ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝对称点为(ρ，θ)，则
将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2cos，即ρ＝2sin θ，
所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
5．(2022·扬州市调研)已知A是曲线ρ＝12sin θ上的动点，B是曲线ρ＝12cos上的动点，试求线段AB长的最大值．
解 曲线ρ＝12sin θ的直角坐标方程为x2＋(y－6)2＝36，
其圆心为(0,6)，半径为6；
曲线ρ＝12cos的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝36，其圆心为(3，3)，半径为6.
所以AB长的最大值＝ ＋6＋6＝18.
6．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
解 圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为
ρ＝2cos θ，
设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，
∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.
∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示原心在点，半径为的圆．
7．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解 (1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ；
ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ.
由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，
得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为
x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.
(2)由
①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程．
8．(2022·泉州模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；
由于ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.
9．(2021·宿迁联考)已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝2·sin.
(1)将直线l的参数方程化为一般方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)推断直线l和圆C的位置关系．
解 (1)消去参数，得直线l的一般方程为y＝2x＋1.
ρ＝2sin，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ，
得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)．
得⊙C的直角坐标方程为(x－1)2＋(x－1)2＝2.
(2)圆心C到直线l的距离d＝＝＜，
所以直线l和⊙C相交．
10．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为ρsin＝3.
(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)已知P为椭圆C：＋＝1上一点，求P到直线l的距离的最大值．
解 (1)直线l的极坐标方程ρsin＝3，则ρsin θ－ρcos θ＝3，即ρsin θ－ρcos θ＝6，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋6＝0.
(2)P为椭圆C：＋＝1上一点，设P(4cos α，3sin α)，其中α∈[0,2π)，则P到直线l的距离
d＝＝，其中cos φ＝，所以当cos(α＋φ)＝1时，d的最大值为.
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