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一、选择题
1．(2021·高考上海卷)小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动．则经过足够长的时间后，小行星运动的( )
A．半径变大 B．速率变大
C．角速度变大 D．加速度变大
解析：选A.因恒星质量M减小，所以万有引力减小，不足以供应行星所需向心力，行星将做离心运动，半径R变大，A项正确，再由v＝，ω＝，a＝可知，速率、角速度、加速度均变小，故B、C、D均错误．
2．(2022·高考浙江卷)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发觉两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于( )
A．15天 B．25天
C．35天 D．45天
解析：选B.依据开普勒第三定律得＝，所以T2＝T1≈25天，选项B正确，选项A、C、D错误．
3．(2021·高考大纲全国卷)“嫦娥一号”是我国首次放射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
解析：选D.设探月卫星的质量为m，月球的质量为M，依据万有引力供应向心力G＝m2(R＋h)，将h＝200 000 m，T＝127×60 s，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，R＝1.74×106 m，代入上式解得M＝7.4×1022 kg，可知D选项正确．
4．(2022·高考江苏卷)已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面四周绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A．3.5 km/s B．5.0 km/s
C．17.7 km/s D．35.2 km/s
解析：选A.由G＝m得，对于地球表面四周的航天器有：G＝，对于火星表面四周的航天器有：G＝，由题意知M′＝M、r′＝，且v1＝7.9 km/s，联立以上各式得v2≈3.5 km/s，选项A正确．
5．(2022·南通二模)我国古代神话中传奇，地上的“凡人”过一年，天上的“神仙”过一天．假如把看到一次日出就当作“一天”，某卫星的运行半径为月球绕地球运行半径的，则该卫星上的宇航员24 h内在太空中度过的“天”数约为(已知月球的运行周期为27天)( )
A．1 B．8
C．16 D．24
解析：选B.依据天体运动的公式G＝m2R得＝，解得卫星运行的周期为3 h，故24 h内看到8次日出，B项正确．
6．(2022·潍坊模拟)某月球探测卫星先贴近地球表面绕地球做匀速圆周运动，此时其动能为Ek1，周期为T1；再把握它进行一系列变轨，最终进入贴近月球表面的圆轨道做匀速圆周运动，此时其动能为Ek2，周期为T2.已知地球的质量为M1，月球的质量为M2，则为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.卫星绕地球做匀速圆周运动，G＝m＝m2R1，Ek1＝mv＝G，T1＝2π；同理卫星绕月球做匀速圆周运动，G＝m＝m2R2，Ek2＝mv＝G，T2＝2π，解各式得：＝，＝，解两式得：＝ ，C项正确．
7．(多选)(2022·高考广东卷)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )
A．轨道半径越大，周期越长
B．轨道半径越大，速度越大
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径， 可得到星球的平均密度
解析：选AC.设星球质量为M，半径为R，飞行器绕星球转动半径为r，周期为T.由G＝mr知T＝2π，r越大，T越大，选项A正确；由G＝m知v＝，r越大，v越小，选项B错误；由G＝mr和ρ＝得ρ＝，又＝sin，所以ρ＝，所以选项C正确，D错误．
8．(多选)(2022·浙江省六校联考)如图所示，卫星由地面放射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100公里，周期为118分钟的工作轨道，开头对月球进行探测( )
A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大
C．卫星在轨道Ⅲ上的运动周期比在轨道Ⅰ上短
D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上多
解析：选ACD.由题图知，rⅠ＞rⅡ＞rⅢ＞r月，由万有引力定律、牛顿其次定律得，v＝，T＝，卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，选项A正确；卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时小，选项B错误；卫星在轨道Ⅲ上运动周期比在轨道Ⅰ上短，选项C正确；卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅱ要靠人为把握减速实现，故卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上多，选项D正确．
9．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为v，周期为T，若要使卫星的周期变为2T，可以实行的方法是( )
A．R不变，使线速度变为v/2
B．v不变，使轨道半径变为2R
C．使轨道半径变为R
D．使卫星的高度增加R
解析：选C.对于卫星的运动，当R确定时，卫星的线速度v＝确定，周期T＝2π确定，所以只有当轨道半径变为R时，卫星的运动周期才可变为2T，即C选项正确．
10．如图所示，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M(M≫m1，M≫m2)．在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比Ta∶Tb＝1∶k；从图示位置开头，在b运动一周的过程中，则( )
A．a、b距离最近的次数为k次
B．a、b距离最近的次数为(k＋1)次
C．a、b、c共线的次数为2k次
D．a、b、c共线的次数为(2k－2)次
解析：选D.在b转动一周过程中，a转过了k圈，假设b不动，则a转过了(k－1)圈，所以a、b距离最远的次数为(k－1)次，a、b距离最近的次数为(k－1)次，故a、b、c共线的次数为(2k－2)次，所以选项D正确．
二、计算题
11．据人民网报道，北京时间2021年12月6日17时53分，“嫦娥三号”探测器成功实施近月制动，顺当进入环月轨道．探测器环月运行轨道可视为圆轨道．已知探测器环月运行时可忽视地球及其他天体的引力，轨道半径为r，运动周期为T，引力常量为G.求：
(1)探测器绕月运行的速度的大小；
(2)探测器绕月运行的加速度的大小；
(3)月球的质量．
解析：(1)探测器绕月运行的速度的大小v＝.
(2)探测器绕月运行的加速度的大小a＝2r.
(3)设月球质量为M，“嫦娥三号”探测器的质量为m，探测器运行时月球对它的万有引力供应向心力，依据万有引力定律和牛顿其次定律有＝m2r
可得M＝.
答案：(1) (2)2r (3)
12．设想宇航员完成了对火星的考查，乘坐返回舱返回绕火星做圆周运动的轨道舱，为了平安，返回舱与轨道舱对接时必需具有相同的速度，已知返回舱返回时需要克服火星的引力做功为W＝mgR，返回舱与人的总质量为m，火星表面的重力加速度为g，火星的半径为R，轨道舱中心到火星中心的距离为r，不计火星表面的空气及火星自转的影响，则宇航员乘坐返回舱从火星表面返回轨道舱至少需要获得多少能量？
解析：宇航员与返回舱在火星表面上有：G＝mg，设轨道舱的质量为m0，速度大小为v，则G＝m0 ，宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时必需具有的动能Ek＝mv2＝，返回舱返回时需要克服火星的引力做功为W＝mgR，宇航员乘坐返回舱返回轨道舱至少需要的能量E＝Ek＋W＝＋mgR.
答案：＋mgR
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