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课时作业3 简洁的规律联结词、全称量词与存在性量词
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2022·北京朝阳一模)假如命题“p∧q”是假命题，“綈q”也是假命题，则( )
A．命题“(綈p)∨q”是假命题
B．命题“p∨q”是假命题
C．命题“(綈p)∧q”是真命题
D．命题“p∧(綈q)”是真命题
解析：由“綈q”为假命题得q为真命题，又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，(綈p)为真命题．所以命题“(綈p)∨q”是真命题，A错；命题“p∨q”是真命题，B错；命题“p∧(綈q)”是假命题，D错；命题“(綈p)∧q”是真命题，故选C.
答案：C
2．(2022·吉林模拟)已知命题p：有的三角形是等边三角形，则( )
A．綈p：有的三角形不是等边三角形
B．綈p：有的三角形是不等边三角形
C．綈p：全部的三角形都是等边三角形
D．綈p：全部的三角形都不是等边三角形
解析：命题p：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，所以对它的否定，应当改存在量词为全称量词“全部”，然后对结论进行否定，故有綈p：全部的三角形都不是等边三角形，所以选D.
答案：D
3．(2022·吉林一模)给出如下几个结论：
①命题“∃x∈R，cosx＋sinx＝2”的否定是“∃x∈R，cosx＋sinx≠2”；
②命题“∃x∈R，cosx＋≥2”的否定是“∀x∈R，cosx＋<2”；
③对于∀x∈，tanx＋≥2；
④∃x∈R，使sinx＋cosx＝.
其中正确的为( )
A．③ B．③④
C．②③④ D．①②③④
解析：依据全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题，知①不正确，②正确；由均值不等式如③正确；由sinx＋cosx＝sin∈[－，]知④正确．
答案：C
4．(2021·四川理，4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：∀x∈A,2x∉B B．綈p：∀x∉A,2x∉B
C．綈p：∃x∉A,2x∈B D．綈p：∃x∈A,2x∉B
解析：∵p：∀x∈A,2x∈B.
∵綈p：∃x∈A,2x∉B.
故选D.
答案：D
5．(2022·石家庄质检)已知命题p1：∃x∈R，x2＋x＋1<0；p2：∀x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题为真命题的是( )
A．(綈p1)∧(綈p2) B．p1∨(綈p2)
C．(綈p1)∧p2 D．p1∧p2
解析：∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x2＋x＋1<0无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1，∴∀x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．∵綈p1为真命题，p2为真命题．∴(綈p1)∧p2为真命题．
答案：C
6．(2022·“江南十校”联考)下列说法中错误的是( )
A．对于命题p：∃x∈R，使得x＋>2，则綈p：∀x∈R，均有x＋≤2
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
解析：明显选项A正确；对于B，由x＝1可得x2－3x＋2＝0；反过来，由x2－3x＋2＝0不能得知x＝1，此时x的值可能是2，因此“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，选项B正确；对于C，原命题的逆否命题是：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此选项C正确；对于D，若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故选项D错误．
答案：D
7．(2022·石家庄模拟)已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a＝1或a≤－2 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
解析：若命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.
若命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0真，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2，又p且q为真命题，所以a＝1或a≤－2.
答案：A
8．(2021·陕西文，6)设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
解析：本题考查复数的相关概念．z2能与0比较大小且z2≥0，则z为实数，A正确．由i2＝－1知，B、D正确．C中不防取z＝1＋i，则z2＝2i不能与0比较大小．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图像知Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
10．已知命题p：∃a∈R，曲线x2＋＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1<x<2}．给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是真命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是真命题．其中正确的是________．
解析：由于命题p是真命题，命题q是假命题，所以命题“p∧q”是假命题，命题“p∧(綈q)”是真命题，命题“(綈p)∨q”是假命题，命题“(綈p)∨(綈q)”是真命题．
答案：②④
11．(2022·大连期中)下列结论：
①若命题p：∃x∈R，tanx＝2；命题q：∀x∈R，x2－x＋>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③“设a、b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a、b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”．
其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
解析：在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧(綈q)”是假命题是正确的；在②中l1⊥l2⇔a＋3b＝0，所以②不正确；在③中“设a、b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为“设a、b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”正确．
答案：①③
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．写出下列命题的否定，并推断真假．
(1)全部的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)有些实数的确定值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形．
解：(1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题．
(2)存在一个素数不是奇数，真命题．
(3)全部的实数的确定值都不是正数，假命题．
(4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题．
13．已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上的解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围．
解：由2x2＋ax－a2＝0，
得(2x－a)(x＋a)＝0，
∴x＝或x＝－a，
∴当命题p为真命题时，
≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p∨q”为假命题，
∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为{a|a>2，或a<－2}．
14．已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．假如“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．
解：∵y＝cx为减函数，∴0<c<1，∴p：0<c<1；
∵x∈[，2]时，f(x)＝x＋，f′(x)＝1－
令f′(x)＝0得x＝1，∴x∈[，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,2]时，
f′(x)>0，f(x)单调递增， 又f()＝，f(2)＝
f(1)＝2，∴f(x)∈[2，]．
∵f(x)>恒成立，∴<2，∴c>，
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p与q一真一假，
当p真q假时，∴0<c≤.
当p假q真时，∴c≥1.
综上知c的取值范围是0<c≤或c≥1.
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