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课时提升作业(二十六)
平面对量应用举例
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4= ( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
【解析】选D.由物理学问知:f1+f2+f3+f4=0,
故f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).
2.(2021·东营模拟)已知点A(-2,0),B(0,0),动点P(x,y)满足PA→·PB→=x2,则点P的轨迹是 ( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
【解析】选D.PA→=(-2-x,-y),PB→=(-x,-y),则PA→·PB→=(-2-x)(-x)+y2=x2,所以y2=-2x.
3.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1),且a∥b,则2sinαcosα等于( )
【解析】选D.由a∥b得cosα=-2sinα,
所以tanα=-.
所以2sinαcosα=
4.(2021·厦门模拟)过点M(2,0)作圆x2+y2=1的两条切线MA,MB(A,B为切点),则MA→·MB→= ( )
A.532 B.52 C.332 D.32
【解析】选D.过点M(2,0)作圆x2+y2=1的两条切线MA,MB(A,B为切点),由于|OM|=2,圆的半径为1,所以|MA|=|MB|=3,且MA→与MB→的夹角为60°,故MA→·MB→=|MA→||MB→|cos60°=3×3cos60°=32,选D.
5.在△ABC中,若则△ABC面积的最大值为( )
A.24 B.16 C.12 D.8
【解题提示】先依据求b2+c2的值,从而求得bc的最大值.把cos A用bc表示,从而sin A可用bc表示,最终用S△ABC=bcsin A求解.
【解析】选C.由题意可知AB=c,AC=b,
所以b·ccos A=7,
所以
所以b2+c2=50≥2bc,所以bc≤25.
【加固训练】若则△ABC的面积是( )
A.1 B.2 C. D.2
【解析】选C.由于
所以的夹角为θ,易知θ与∠BCA为对顶角,所以θ=∠BCA. cosθ=1×4cosθ=2,得cosθ=,
所以cos∠BCA=,sin∠BCA=,
所以
6.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,若=0,则cos B=( )
【解题提示】将其中一个向量转化为用另外两个向量来表示,利用两向量不共线得边a,b,c的关系,再利用余弦定理求解.
【解析】选A.由=0得
=0,又不共线,
7.(2021·淄博模拟)在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,若(λ,μ∈R),则log(λμ)的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选A.如图,
令=a,=b,则=a+b,①
由于a,b不共线,由①,②得
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2021·安庆模拟)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若(2a-c)AB→+(2a-b)AC→=0,则cosB= .
【解题提示】利用AB→与AC→不共线得a,b,c关系后利用余弦定理求解.
【解析】由于(2a-c)AB→+(2a-b)AC→= 0,又AB→与AC→不共线,
故2a-c=0,2a-b=0,得c=2a,b=2a,
所以cosB=a2+c2-b22ac=a2+4a2-4a22a·2a=14.
答案:14
【方法技巧】利用向量求解三角形问题的策略
(1)当以向量的非坐标形式给出边关系时,通常接受基底法进行转化,要留意共线、垂直条件的应用,同时向量线性运算的几何意义也要时刻想到.
(2)当以向量的坐标形式给出三角形中边角关系时,通常是利用坐标运算转化后边化角或角化边来寻求问题的突破.
9.已知A,B,C是圆x2+y2=1上的三点,且OA→+OB→=OC→,其中O为坐标原点,则▱OACB的面积等于 .
【解析】如图所示,由|OA→|=|OB→|=|OC→|=1,OA→+OB→=OC→得▱OACB为边长为1的菱形,且∠AOB=120°.
所以S▱OACB=|OA→||OB→|sin120°=1×1×32=32.
答案:32
10.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为 .
【解析】如图所示,渡船速度为OB→,水流速度为OA→,
船实际垂直过江的速度为OD→,依题意知|OA→|=252,|OB→|=25.
由于OD→=OB→+OA→,所以OD→·OA→=OB→·OA→+OA→ 22,
由于OD→⊥OA→,所以OD→·OA→=0,
所以25×252cos(∠BOD+90°)+2522=0,
所以cos(∠BOD+90°)=-12,所以sin∠BOD=12,
所以∠BOD=30°,所以航向为北偏西30°.
答案:北偏西30°
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·保定模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O,若,则
△ABC是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
【解题提示】利用已知推断O点的位置,再依据O为外心可解.
【解析】选C.由可得O为BC边的中点.
又O为△ABC的外心,故BC为△ABC外接圆的直径,
故∠BAC=90°,故△ABC为直角三角形.
2.(5分)在平面直角坐标系中,O为原点,=(1,0),若则||的最小值为( )
A.3.5 B.4.5 C.5.5 D.6.5
【解析】选C.设P(x,y),则=(x,y).
又由于
所以(x-1)2+y2=x2,得y2=2x-1,
又=(-5,0),
由于2x-1≥0,所以x≥,
3.(5分)(2021·青岛模拟)设x1,x2,x3为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足x1与x2不共线,x1⊥x3,|x1|=|x3|,则|x2·x3|的值确定等于( )
A.以x2,x3为两边的三角形的面积
B.以x1,x2为邻边的平行四边形的面积
C.以x1,x2为两边的三角形的面积
D.以x2,x3为邻边的平行四边形的面积
【解析】选B.如图,
令x1与x2的夹角为α,x2与x3的夹角为β,
则α+β=32π,由于|x1|=|x3|,
所以|x2·x3|=||x2||x3|cosβ|
=||x2||x1|cos32π-α|=|x2||x1||sinα|.
|x2||x1||sinα|明显是以x1,x2为邻边的平行四边形的面积.
4.(12分)(2021·重庆模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.
(1)求cosB的值.
(2)若BA→·BC→=2,且b=22,求a和c的值.
【解析】(1)由正弦定理,得2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB(R为△ABC外接圆半径),
所以sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,
即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,
所以sin(B+C)=3sinAcosB,
又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA.
所以sinA=3sinAcosB.
由于sinA≠0,所以cosB=13.
(2)由BA→·BC→=2,得accosB=2,
由(1)知cosB=13,所以ac=6①.
又由于b2=a2+c2-2accosB,即8=a2+c2-4,
所以a2+c2=12②.
由①②式解得a=c=6.
【加固训练】(2021·石家庄模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AB→·AC→=BA→·BC→=k(k∈R),
(1)推断△ABC的外形.
(2)若c=2,求k的值.
【解析】(1)由于AB→·AC→=cbcosA,BA→·BC→
=cacosB,
又AB→·AC→=BA→·BC→,所以bccosA=accosB,
所以sinBcosA=sinAcosB,
即sinAcosB-sinBcosA=0,所以sin(A-B)=0,
由于-π<A-B<π,所以A=B,即△ABC为等腰三角形.
(2)由(1)知,AB→·AC→=bccosA=bc·b2+c2-a22bc=c22=k,
由于c=2,所以k=1.
5.(13分)(力气挑战题)已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ,cos2θ=3,过点B的直线交曲线C于P,Q两点.
(1)求的值,并写出曲线C的方程.
(2)设直线PQ的倾斜角是,试求△APQ的面积.
【解题提示】(1)先依据向量的运算确定点M的轨迹,然后依据相关的值写出曲线C的方程.(2)写出直线PQ的方程,与曲线C的方程组成方程组,依据根与系数的关系求△APQ的面积.
【解析】(1)设M(x,y),在△MAB中,|AB|=2,∠AMB=2θ,依据余弦定理得
因此点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意),a=2,c=1.
所以曲线C的方程为
(2)由题意得直线PQ的方程为:y=x-1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),由
得
7x2-8x-8=0,
所以x1+x2=,
x1x2=-,
y1+y2=x1+x2-2=-,
y1y2=(x1-1)(x2-1)
=x1x2-(x1+x2)+1=-,
由于A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.
所以S△APQ=S△ABP+S△ABQ
即△APQ的面积是
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