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双基限时练(四)
基 础 强 化
1．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为( )
A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台
解析 所形成的两个圆锥对底，其底面半径是这个直角三角形斜边上的高，这两个对底圆锥的高的和等于这个直角三角形斜边的长．
答案 C
2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，则这个几何体可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．球体 D．以上都可能
解析 球体被任何平面所截得的截面均为圆面；对圆锥，截面不能为四边形；对于圆柱，当截面过两条母线时，得到四边形．
答案 B
3．已知圆锥的底面面积为4π，高为2，则它的母线长为( )
A．1 B．2
C．2 D．4
解析 圆锥的底面半径为2，故它的母线长为2.
答案 C
4．圆台两底面半径分别是2和5，母线长是3，则它的高为( )
A．9 B．3
C．10 D．3
解析 h＝＝9.
答案 A
5．设地球的半径为R，在东经80°上有两点M、N，M在北纬30°，N在南纬15°，则M、N两点间的球面距离为( )
A. B.
C. D．πR
解析 经线圈是大圆，故经过M、N两点的大圆的圆心角为45°，∴M、N的球面距离为l＝2π×R×＝.
答案 B
6．已知球的半径为5，球心到截面的距离为3，则截面圆的面积为( )
A．4π B．6π
C．9π D．16π
解析 截面圆的半径为r＝＝4，∴S＝π·r2＝16π.
答案 D
7．一个圆台的母线长为5，上、下底面直径分别为2,8，则圆台的轴截面面积为________．
解析 圆台的高h＝ ＝4，
∴S＝×(2＋8)×4＝20.
答案 20
8．一圆锥的轴截面的顶角为120°，母线长为1，则过该顶点的圆锥截面中最大截面面积为__________．
解析 由于圆锥的轴截面的顶角为120°，大于90°，所以过顶点的全部截面中，面积最大的是等腰直角三角形的截面，且其面积为母线长的平方的一半．
答案
能 力 提 升
9．给出下列说法：①球面上四个不同的点肯定不在同一平面内；②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；③球面上任意三点可能在一条直线上；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．其中正确说法的序号是________．
解析 作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；依据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点肯定不共线，故③错误；用一个平面去截球，肯定截得一个圆面，故④正确．
答案 ②④
10．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．
解 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．
11.
如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．
解 作出圆台的侧面开放图，如下图所示，由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相像，得＝，可求得OA＝20 cm.设∠BOB′＝α，由于扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10 cm.扇形OBB′的半径为OA＋AB＝20＋20＝40 cm，扇形OBB′所在圆的周长为2π×40＝80π cm.所以扇形弧的长度20π为所在圆周长的.所以OB⊥OB′.所以在Rt△B′OM中，B′M2＝402＋302，所以B′M＝50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm.
12．设地球的半径为R，在南纬60°圈上有两点A，B，A在西经90°，B在东经90°，求A，B两点间纬线圈的弧长及A，B两点间的球面距离．
解 纬度数为60°，则纬度圈小圆的半径r＝Rcos60°＝.
如图所示，设南纬60°圈的中心为O1，地球球心为O，则∠AO1B＝180°.
∴AB＝2AO1＝R.
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴在南纬60°圈上，的长为×＝；
在球面上，A，B两点间的球面距离为×R＝.
品 味 高 考
13．给出下列说法：
①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1：2，有一内角为45°；
②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；
③水平放置的不等边三角形的直观图是不等边三角形；
④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．
写出其中正确说法的序号________．
解析 对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长的比不为1：2；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，水平放置的不等边三角形的直观图可以是等边三角形．
答案 ④
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