资源描述
[基础达标]
1．设随机变量X等可能取值为1，2，3，…，n，假如P(X＜4)＝0.3，那么( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝9 D．n＝10
解析：选D．P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝＝0.3，∴n＝10.
2．(2022·贵州贵阳调研)随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝( )
A． B．
C． D．
解析：选D．∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋C．
又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.
3．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X
0
1
2
P
a
F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)＝( )
A． B．
C． D．
解析：选D．∵a＋＋＝1，∴a＝.∵x∈[1，2)，
∴F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.
4．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为( )
A． B．
C． D．
解析：选D．由×a＝1，
知a＝1，解得a＝.
故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
5．从4名男生和2名女生选3人参与演讲竞赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
解析：设所选女生人数为X，则X听从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
答案：
6．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为：
X
0
1
2
P
________
________
________
解析：P(X＝0)＝＝0.1，
P(X＝1)＝＝＝0.6，
P(X＝2)＝＝0.3.
答案：0.1 0.6 0.3
7．某校组织一次冬令营活动，有8名同学参与，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
(1)求X的分布列；
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．
解：(1)X的可能取值为0，1，2，3.
依据公式P(X＝m)＝算出其相应的概率，
即X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为
P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
8．某校10名同学组成该校“科技创新周”志愿服务队(简称“科服队”)，他们参与活动的有关数据统计如下：
参与活动次数
1
2
3
人数
2
3
5
(1)从“科服队”中任选3人，求这3人参与活动次数各不相同的概率；
(2)从“科服队”中任选2人，用ξ表示这2人参与活动次数之差的确定值，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)3人参与活动次数各不相同的概率为
P＝＝，
故这3名同学参与活动次数各不相同的概率为.
(2)由题意知：ξ＝0，1，2，
P(ξ＝0)＝＝；
P(ξ＝1)＝＝＝；
P(ξ＝2)＝＝＝.
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
9.口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，假如取到红球，那么连续取球，且取出的红球不放回；假如取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝，求：
(1)n的值；
(2)X的分布列．
解：(1)由题意知P(X＝2)＝＝＝，
即7n2－55n＋42＝0，即(7n－6)(n－7)＝0.
由于n∈N*，所以n＝7.
(2)由题意知，X的可能取值为1，2，3，4，
又P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝1－－－＝，
所以，X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
[力气提升]
1．从集合{1，2，3，4，5}的全部非空子集中，等可能地取出一个．
(1)记性质r：集合中的全部元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；
(2)记所取出的非空子集的元素个数为X，求X的分布列．
解：(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为大事A．
基本大事总数n＝C＋C＋C＋C＋C＝31；
大事A包含的基本大事是{1，4，5}，{2，3，5}，{1，2，3，4}；
大事A包含的基本大事数m＝3.
故P(A)＝＝.
(2)依题意，X的全部可能取值为1，2，3，4，5.
又P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝.
故X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
2.(2022·广东广州调研测试)某市A，B，C，D四所中学报名参与某高校今年自主招生的同学人数如下表所示：
中学
A
B
C
D
人数
30
40
20
10
为了了解参与考试的同学的学习状况，该高校接受分层抽样的方法从报名参与考试的四所中学的同学当中随机抽取50名参与问卷调查．
(1)问A，B，C，D四所中学各抽取多少名同学？
(2)从参与问卷调查的50名同学中随机抽取2名同学，求这2名同学来自同一所中学的概率；
(3)在参与问卷调查的50名同学中，从来自A，C两所中学的同学当中随机抽取2名同学，用ξ表示抽得A中学的同学人数，求ξ的分布列．
解：(1)由题意知，四所中学报名参与该高校今年自主招生的同学总人数为100，抽取的样本容量与总体个数的比值为＝.
∴应从A，B，C，D四所中学抽取的同学人数分别为15，20，10，5.
(2)设“从参与问卷调查的50名同学中随机抽取2名同学，这2名同学来自同一所中学”为大事M，
从参与问卷调查的50名同学中随机抽取2名同学的取法共有C＝1 225(种)．
这2名同学来自同一所中学的取法共有C＋C＋C＋C＝350(种)．
∴P(M)＝＝.
故从参与问卷调查的50名同学中随机抽取2名同学，这2名同学来自同一所中学的概率为.
(3)由(1)知，在参与问卷调查的50名同学中，来自A，C两所中学的同学人数分别为15，10.
依题意得，ξ的可能取值为0，1，2，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
3.(2022·辽宁大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参与市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为，，.
(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；
(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．
解：(1)X的可能取值为0，1，2，3，取相应值的概率分别为
P(X＝0)＝(1－)×(1－)×(1－)＝，
P(X＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝，
P(X＝2)＝××(1－)＋(1－)××＋×(1－)×＝，
P(X＝3)＝××＝.
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
(2)得分η＝5X＋2(3－X)＝6＋3X.
∵X的可能取值为0，1，2，3，
∴η的可能取值为6，9，12，15，取相应值的概率分别为
P(η＝6)＝P(X＝0)＝，
P(η＝9)＝P(X＝1)＝，
P(η＝12)＝P(X＝2)＝，
P(η＝15)＝P(X＝3)＝.
∴得分η的分布列为：
η
6
9
12
15
P
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