2021人教A版高三数学(理)二轮复习-专题整合训练1-5-1-Word版含解析.docx

专题五 解析几何
第1讲　圆与圆锥曲线的基本问题

一、选择题
1．(2022·陕西长安五校联考)过P(2,0)的直线l被圆(x－2)2＋(y－3)2＝9截得的线段长为2时，直线l的斜率为 (　　)．
A．± B.±　　
C．±1 D.±
解析　由题意直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.由点到直线的距离公式得，圆心到直线l的距离为d＝＝，由圆的性质可得d2＋12＝r2，即2＋12＝9，解得k2＝，即k＝±.
答案　A
2．(2022·河北衡水中学调研)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距是实轴长的2倍，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 (　　)．
A．x2＝y B.x2＝y
C．x2＝8y D.x2＝16y
解析　∵2c＝4a，∴c＝2a，又a2＋b2＝c2，∴b＝a，∴渐近线y＝±x，焦点(0，)，
d＝＝2，∴p＝8，∴抛物线方程为x2＝16y.
答案　D
3．(2022·菏泽一模)已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，则双曲线的离心率为 (　　)．
A. B.4
C．3 D.2
解析　抛物线y2＝4x的准线方程为：x＝－1，由题意知，双曲线的左焦点坐标为(－1,0)，即c＝1，
且A，B，由于△AOB的面积为，
所以，×2××1＝，即＝，
所以，＝，解得：a＝，∴e＝＝＝2.
答案　D
4．(2022·辽宁卷)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为 (　　)．
A. B.
C. D.
解析　∵A(－2,3)在抛物线y2＝2px的准线上，
∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB的方程为x＝m(y－3)－2①，将①与y2＝8x联立，得y2－8my＋24m＋16＝0②，则Δ＝(－8m)2－4(24m＋16)＝0，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或m＝－(舍去)，将m＝2代入①②解得即B(8,8)，又F(2,0)，∴kBF＝＝，故选D.
答案　D
二、填空题
5．(2022·新课标全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
解析　由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，明显圆上存在点N(±1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特殊地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．

答案　[－1,1]
6．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
答案　7
7．(2022·金丽衢十二校联考)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若|OA|＝b，则该双曲线的离心率为________．
解析　如图，延长F2A交PF1于B点，

依题意可得|BF1|＝|PF1|－|PF2|＝2a.
又点A是BF2的中点，
所以|OA|＝|BF1|，
即b＝a，
∴c＝a，即e＝.
答案　
8．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则椭圆的离心率为________．
解析　设|AB|＝3t(t＞0)，则|BF2|＝4t，|AF2|＝5t，则|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝12t.由于|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝4a，所以12t＝4a，即t＝a.
又|F1A|＋|AF2|＝2a，所以|F1A|＝2a－a＝a，
|F1B|＝a，|BF2|＝a.
由|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，
知AB⊥BF2，故|F1B|2＋|BF2|2＝4c2，即
(a)2＋(a)2＝4c2，得a2＝c2.所以e2＝＝，
即e＝.
答案　
三、解答题
9．(2022·长沙模拟改编)如图，已知直线l：y＝k(x＋1)(k＞0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N.且|AM|＝2|BN|，求k值．

解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组：
消去x得：ky2－4y＋4k＝0.　　 ①
由于直线与抛物线相交，
所以有，Δ＝(－4)2－4×k×4k＝16(1－k2)＞0，　　(*)
y1，y2是方程①的两根，所以有
又由于|AM|＝2|BN|，所以，y1＝2y2，　　 ④
解由②③④组成的方程组，得k＝，
把k＝代入(*)式检验，不等式成立．所以，k＝.
10．(2021·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解　(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，得＝1，解得k＝0或－，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)由于圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，由于|MA|＝2|MO|，所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，
即1≤≤3.整理得－8≤5a2－12a≤0.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，
得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围是.
11．(2022·北京卷)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试推断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
解　(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，
从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0.
由于OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，
解得t＝－.
当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，
故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为
y－2＝(x－t)，
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.
圆心O到直线AB的距离d＝ .
又x＋2y＝4，t＝－，故
d＝＝＝.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．