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课时提升作业(四十三)
一、选择题
1.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，x,且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为125π,则x的值为( )
(A)5 (B)6 (C)8 (D)10
2.(2022·新课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
(A)π (B)π (C)π (D)π
3.某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )
(A)16 (B)12 (C)8 (D)6
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
(A) (B)2 (C) (D)3
5.如图，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AB=1，AA1=，点E为AB上的动点，则D1E+CE的最小值为( )
(A) (B)
(C) (D)
6.(2021·杭州模拟)一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )
(A) (B)+6
(C)11π (D)
7.(力气挑战题)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V的大小为
( )
(A) (B)12
(C) (D)16
8.(力气挑战题)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )
(A)8π (B)6π (C)4π (D)2π
二、填空题
9.(2022·江苏高考)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3 cm，AA1=2 cm，则四棱锥A-BB1D1D的体积为_______cm3.
10.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为_______.
11.(2021·三明模拟)如图为某几何体的三视图，尺寸如图给出，则几何体的体积为________.
三、解答题
12.(力气挑战题)如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.记CD=x,V(x)表示四棱锥F-ABCD的体积.
(1)求V(x)的表达式.
(2)求V(x)的最大值.
答案解析
1.【解析】选D.设球的半径为r,则4πr2=125π,
∴.又∵32+42+x2=(2r)2，
∴9+16+x2=125，∴x2=100，即x=10.
2. 【解析】选B.
如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，
则OO′=，O′M=1，∴即球的半径为，
∴
3.【思路点拨】由俯视图可知，该几何体是由四棱柱从中挖掉一个三棱柱所得到的几何体.
【解析】选B.该几何体是一个四棱柱挖去一个三棱柱后得到的几何体，其体积为2×3×4-×2×3×4=12.
【变式备选】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
(A)π cm3 (B)3π cm3
(C)π cm3 (D)π cm3
【解析】选D.由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，所以其体积为 (cm3).
4.【解析】选A.由图知，此几何体上部是一个棱长为1的正方体，其体积为1.下部是一个侧着放的四棱柱，其高为1，底面是一个高为1，上底为2，下底为3的直角梯形，故下部的体积是故此几何体的体积是
【误区警示】本题易错误地认为该几何体是由一个正方体和一个棱台构成的组合体.
5.【解析】选B.将正方形ABCD沿AB向下翻折到对角面ABC1D1内成为正方形ABC2D2，在矩形C1D1D2C2中连接D1C2，与AB的交点即为所求最小值点E，此时D1E+CE=D1C2.由于对角线BC1=2,C1C2=3，故
6.【解析】选D.这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.依据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，高为，母线长是2，其表面积是两个半圆、圆台侧面积的一半和一个轴截面的面积之和，故S=π×12+π×22+π(1+2)×2+×(2+4)×=+3.
7.【思路点拨】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键.留意该几何体是底面为直角梯形且放倒了的四棱锥.
【解析】选C.由三视图知，该几何体是一个四棱锥(如图)，其底面是一个直角梯形，高h为4，
∴四边形ABCD的面积S=×(4+1)×4=10，
∴V=Sh=×10×4=.
即该几何体的体积V为.
8.【思路点拨】该几何体是底面为等腰直角三角形，且一条侧棱垂直于底面的三棱锥，可将该几何体补成一个长方体，然后解决.
【解析】选A.设该几何体的外接球的半径为R.依题意知，该几何体是一个如图所示的三棱锥A -BCD，其中AB⊥平面BCD，AB=2，BC=CD=，BD=2，BC⊥DC，因此可将该三棱锥补成一个长方体，于是有(2R)2=22+()2+()2=8，即4R2=8，则该几何体的外接球的表面积为4πR2=8π.
【变式备选】长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )
(A)π (B)56π (C)14π (D)64π
【解析】选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c，
同时不妨设得
设球的半径为R，则(2R)2=22+12+32=14,
∴R2=,∴S球=4πR2=14π.
9.【解析】关键是求出四棱锥A -BB1D1D的高.
连接AC交BD于O，在长方体中，
∵AB=AD=3，∴BD=且AC⊥BD.
又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC.
又DB∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D1D，
∴AO为四棱锥A-BB1D1D的高且AO=BD=.
∵
∴
答案:6
10.【解析】设正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，沿AC折起后依题意得，当BD=a时，BE⊥DE，所以DE⊥平面ABC，于是三棱锥D-ABC的高为DE=，所以三棱锥D -ABC的体积
答案:
11.【解析】几何体由底面正六边形边长为2，高为1的六棱柱和一个底面正六边形边长为2，高为4的六棱锥组成，所以几何体体积V=V柱体+V锥体=6××22×1+×6××22×4=14.
答案：14
12.【思路点拨】利用体积公式得到V(x)的表达式，然后依据基本不等式或函数的学问求最大值.
【解析】(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD.
∵BD⊥CD，BC=2，CD=x,
∴FA=2,BD=(0<x<2)，
∴S▱ABCD=CD·BD=x,
∴V(x)=S▱ABCD·FA=x(0<x<2).
(2)方法一：要使V(x)取得最大值，只需x=(0<x<2)取得最大值，
∵
∴
当且仅当，即x=时等号成立.
故V(x)的最大值为
方法二：
∵0<x<2,∴0<x2<4,∴当x2=2，即x=时，V(x)取得最大值，且V(x)max=
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