江苏省扬州中学2021-2022学年高二上学期期中考试-数学-Word版含答案.docx

江苏省扬州中学2021—2022学年第一学期期中考试
高二数学试卷 2021.11
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．已知命题，则是 ．
2．命题 “若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为 命题．（填“真”、“假”）
3．若椭圆的一个焦点坐标为(1,0)，则实数的值等于______________．
4．“”是“”成立的 条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）
5．在正方体中，过的平面与底面的交线为，则直线与的位置关系为 .(填“平行”或“相交”或“异面”)
6．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为______________．
7．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是______________．
①．若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或 l∥α ②．若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 lα
③．若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交 ④．若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 lβ
8．若一个圆锥的侧面开放图是面积为的半圆面，则该圆锥的高为______________．
9．已知点是椭圆上一点，为椭圆的一个焦点，且 轴，(为椭圆的半焦距)，则椭圆的离心率是__________．

10．若，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则=______________．
11．点为椭圆＋y2＝1上的任意一点，则的最大值为______________．
12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开头输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽视不计. 假如瓶内的药液恰好分钟滴完，则每分钟应滴下 滴．

13．在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是______________．

14．如图所示，是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是______________．

二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．(本小题满分14分)
设命题，命题关于x的方程有实根．
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若“”为假命题，且“”为真命题，求的取值范围．

16．(本小题满分14分)

如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为。
（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）求三棱锥D-ACE的体积．

17．(本小题满分14分)
已知命题：点不在圆的内部，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”．
（1）若“且”是真命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．

18．(本小题满分16分)
已知椭圆:两个焦点之间的距离为2，且其离心率为.
(１) 求椭圆的标准方程；
(２) 若为椭圆的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求外接圆的方程.

19． (本小题满分16分)
如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且，E为PB的中点．
（1）A
B
C
P
D
E
M
求证：CE∥平面ADP；
（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；
（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：＋＝1的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．
（1）求a，b的值；
（2）求证：直线MN的斜率为定值．

命题、校对、审核：高一数学备课组
答案:
1． 2.假 3． 4 4．必要不充分 5．平行6．
7．② 8． 9． 10． 11． 12． 75 13． 14．
15．解：（1）由题意得，
故为真命题时的取值范围为．
（2）故为真命题时的取值范围为
由题意得，与一真一假，从而
当真假时有 a无解；
当假真时有．
∴实数的取值范围是．
16、证明：
（1）正方形ABCD中，， 又平面CDE，平面CDE，
所以平面CDE．
（2）由于AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为

由于，且，所以，
又且，，
所以， 又，
所以．

17．解：（1）若为真：
解得或
若为真：则
解得或
若“且”是真命题，则
解得或
（2）若为真，则，即
由是的必要不充分条件，
则可得或
即或
解得或
18．解：(Ⅰ) ， ， ，
椭圆的标准方程是
(Ⅱ)由已知可得，
设，则 ， ，
，即 ， 代入，
得：或 ，
即或.
当为时，,的外接圆是以为圆心，以1为半径的
圆，该外接圆的方程为；
当为时，，所以是直角三角形，其外接圆是以线段
为直径的圆.由线段的中点以及可得的外接圆的方程为
.
综上所述，的外接圆的方程为或.
19． 证明： (1)取棱AP中点F，连接DF，EF
为的中位线∥，且∥，且∥，且 四边形EFDC为平行四边形，∥DF
∵DF⊂平面ADP，CE平面ADP∴CE∥平面ADP
(2)由（1）可得∥DF
∵PC＝BC，E为PB的中点 ∴CE⊥PB
∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，AB⊂平面ABCD
∴AB⊥平面PBC 又∵CE⊂平面PBC ∴AB⊥CE
又∵CE⊥PB，AB∩PB＝B，AB,PB⊂平面PBC ∴CE⊥平面PAB
又∵CN∥DF ∴DF⊥平面PAB 又∵DFÌ平面PAD ∴平面PAD⊥平面PAB
或：先证明AB⊥PB，AB＝PB＝2 ∴BF⊥PA，且BF＝，AF＝PF＝，
在梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝2CD＝2，∴AD＝BD＝
再证明PO⊥OD，且PO＝，OD＝ ∴PD＝ ∴PD＝AD＝
∴FD⊥AP，FD＝＝
∴BD2＝FD2＋FB2 ∴BF⊥FD，再证明BF⊥平面PAD．
(3) 存在，。证明：取中点，连结交于，连结，在平面中由平几得，∥为等腰底边上的中点， PBC⊥底面ABCD，平面，平面平面
平面平面平面DMN，平面DMN⊥平面ABC
20. 解：（1）由于e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；
故椭圆方程为+=1；
由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，
由解得A（b，b）；
又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；
故a=2，b=2；
（2）由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；
①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），
明显k1≠k2；
所以kCB=﹣； 同理kDB=﹣，
于是直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4）；

从而点N的坐标为；
用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；

即直线MN的斜率为定值﹣1；
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，
依据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，
故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，﹣2）；
照旧设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣；
此时CA：x=4，DB：y+2=﹣（x+4），它们交点M（4，）；
BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它们交点N（，﹣2），
从而kMN=﹣1也成立；
由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1；