江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期期中考试-数学-Word版含答案.docx

江苏省扬州中学2022-2021学年第一学期期中考试
高二数学试卷
2022年11月
（注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案写在答题纸上）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1．抛物线的焦点坐标为 ▲ ．
2．经过点（－2，3），且与直线垂直的直线方程为____▲_______．
3．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为_____▲_____．
4.已知无论取任何实数，直线必经过确定点，则该定点坐标为 ▲ ．
5.设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则_____▲______．
6. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好沉没最上面的球，则球的半径是 ▲ cm.
7. 假如规定：，则 叫做 关于相等关系具有传递性，那么空间三直线 关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是_____ ▲______.
8.双曲线 的一条渐近线方程为，则 ▲ .
9．已知椭圆上一点P到左焦点的距离为,则它到右准线的距离为　▲ .
10． 设和为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；
（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；
（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；
（4）直线与垂直的等价条件是与内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号 ▲ （写出全部真命题的序号）．
11.椭圆,为椭圆的两个焦点且到直线的距离之和为，则离心率= ▲ .
12.若点在曲线上，则的最小值为 ▲ .
13.已知过点作直线与圆：交于两点，且为线段的中点,则的取值范围为 ▲ .
14．已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则 ▲ .

16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．

P
A
B
C
D
E
(第16题图)

A
D1
C1
A1
B1
B
C
D
17．（本小题满分15分）如图，在四棱柱中，已知平面，
且．
(1)求证：;
(2)在棱BC上取一点E，使得∥平面，求的值．

18. （本小题满分15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为．观测点,同时跟踪航天器．
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

19. （本小题满分16分）
（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程.
（2）已知椭圆,设斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为，证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上.
（3）利用（2）中所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出图中的定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.

20. （本小题满分16分）在直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点同时满足：为的重心；到三点的距离相等；直线的倾斜角为.
（1）求证：顶点在定椭圆上，并求椭圆的方程；
（2）设都在曲线上，点，直线都过点并且相互垂直，求四边形的面积的最大值和最小值.

高二数学期中试卷答题纸 2022.11
一、 填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成果

高二__________ 学号________ 姓名_____________
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
1． 2． 3． 4．

5． 6． 7． 8．

9． 10． 11． 12．

13． 14．

三、解答题（本大题共6小题，计90分）
15．解：

16．解：

P
A
B
C
D
E
(第16题图)

17．解：
A
D1
C1
A1
B1
B
C
D

18．解：

19.解：

请将20题做在反面
高二数学期中试卷参考答案 2022.11
1. ；2. ；3. ；4. ； 5. 0 ；6. 4；7. 平行；
8.； 9. 3 ； 10. （1）（2）； 11. ；12. 2；13. ；14.
15.解：由，得或；
当m=4时，l1：6x+7y-5=0，l2：6x+7y=5,即l1与l2重合，故舍去。
当时，即l1∥l2.∴当时，l1∥l2.
（2）由得或；
∴当m=-1或m=-时，l1⊥ l2.
16.解: 16.（1）证明：连结交于点，连结．
由于为中点，为中点，
所以，………………………………………………………………………4分
由于平面，平面，
所以平面．………………………………………………………………7分
（2）证明：由于平面，平面，所以．………9分
由于在正方形中且，
所以平面． ……………………………………………………………12分
又由于平面，所以平面平面．………………………14分
17.证明：（1）在四边形ABCD中，由于BA=BC,DA=DC，所以．
平面，且
所以．
(2)点E为BC中点，即,
下面赐予证明：在三角形ABC中，由于AB=AC，却E为BC中点，所以,
又在四边形ABCD中，AB=BC=CA=,DA=DC=1，所以 ,
所以 ，即平面ABCD中有， ．
由于,所以.
18.解：（1）曲线方程为.
(2)设变轨点为，依据题意可知： 得，
得(舍去)，，（舍去），，，.
答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为时，应向航天器发出变轨指令．
19.解：（1）.
（2）设直线的方程为与椭圆的交点为，则联立方程：，得，
即.则，
，中点的坐标为。
的中点在过原点的直线上.
（3）作两条平行直线分别交椭圆于和，并分别取的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于和，并分别取的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心。
20.解：（1）设，，为的重心，，又为的外心且在轴上，，由得
，整理得：。
（2）恰为的右焦点，设的斜率为，则，由，得.设
，则，，
，把换成，得，
==，
，，当且仅当时，取等号，又当不存在或者时，，综上：，.