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第6讲 不等式的证明
1．(2021·南京、盐城模拟)已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1.
证明 ∵x1，x2，x3为正实数，∴＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3)＝2，
∴＋＋≥1.
2．已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．
解 ∵(x2＋2y2＋3z2)
≥2＝(3x＋2y＋z)2，
当且仅当x＝3y＝9z时，等号成立．∴(3x＋2y＋z)2≤12，
即－2≤3x＋2y＋z≤2.
当x＝－，y＝－，z＝－时，
3x＋2y＋z＝－2，∴最小值为－2.
3．(2022·常州一中期中)设正实数a、b满足a2＋ab－1＋b－2＝3，求证：a＋b－1≤2.
证明 由a2＋ab－1＋b－2＝3，得ab－1＝(a＋b－1)2－3，
又正实数a、b满足a＋b－1≥2，
即ab－1≤，当且仅当a＝b时取“＝”．
∴(a＋b－1)2－3≤，∴a＋b－1≤2.
4．已知an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，求证：<an<.
证明 ∵＝，∴>n，
∴an＝＋＋…＋>1＋2＋3＋…＋n＝.∵<，
∴an<＋＋＋…＋
＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝.
综上得：<an<.
5．(2021·南京模拟)已知a＋b＋c＝1，a，b，c＞0.
(1)求证：abc≤；
(2)求证：a2＋b2＋c2≥.
证明 (1)a＋b＋c≥3·，而a＋b＋c＝1，
∴abc≤，当且仅当a＝b＝c＝时取“＝”．
(2)据柯西不等式得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2＝，
由(1)知≤，
∴a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝b＝c时取“＝”．
6．(2022·徐州二模)已知a、b都是正实数，且ab＝2.求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.
证明 法一 由于a、b都是正实数，且ab＝2，
所以2a＋b≥2＝4.
所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab≥9.
法二 由于a、b都是正实数，
所以由柯西不等式可知
(1＋2a)(1＋b)＝[12＋()2][12＋()2]≥(1＋)2.
又ab＝2，所以(1＋)2＝9.所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
法三 由于ab＝2，
所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋2a)＝5＋2.
由于a为正实数，所以a＋≥2 ＝2.
所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
法四 由于a、b都是正实数，所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋a＋a)·≥3··3·＝9·.
又ab＝2，所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
7．(2021·苏、锡、常、镇调研)设实数x，y，z满足x＋2y－3z＝7，求x2＋y2＋z2的最小值．
证明 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)·[12＋22＋(－3)2]≥(x＋2y－3z)2.
∵x＋2y－3z＝7，∴x2＋y2＋z2≥.
当且仅当x＝＝时取等号，
即x＝，y＝1，z＝－时取等号．
∴x2＋y2＋z2的最小值为.
8．(2022·苏、锡、常、镇调研)已知m、n是正数，证明：＋≥m2＋n2.
证明 ∵＋－m2－n2＝＋
＝＝，
∵m、n均为正实数，
∴≥0，∴＋≥m2＋n2.
当且仅当m＝n时，等号成立．
9．(2021·南京、盐城调研)已知x、y、z均为正数，求证：
≤ .
证明 由柯西不等式，得
(12＋12＋12)≥2.
即× ≥＋＋.
∴≤ .
当且仅当＝＝时等号成立．
10．已知a，b为实数，且a>0，b>0.
(1)求证：≥9；
(2)求(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2的最小值．
(1)证明 由于a>0，b>0，
所以a＋b＋≥3＝3>0，①
同理可证：a2＋＋≥3>0.②
由①②及不等式的性质得
＝3×3＝9.
(2)解 [(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2][12＋12＋22]
≥[(5－2a)×1＋2b×1＋(a－b)×2]2.
所以(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2≥.
当且仅当＝＝时取等号，即a＝，b＝.
所以当a＝，b＝时，(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2取最小值.
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