2021高中数学北师大版必修五导学案：《等差数列的定义和通项》.docx

第3课时　等差数列的定义和通项

1.理解等差数列、公差、等差中项的概念.
2.把握等差数列的通项公式.
3.会运用等差数列的通项公式解决相关数列问题.

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,会接受定期放水的方式清理水库的杂鱼.假如一个水库的水位为18 m,自然放水每天水位降低2.5 m,最低降至5 m.那么从开头放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成的数列(单位:m)是我们今日要学习的一种数列.

问题1:(1)等差数列的定义:假如一个数列从　　　　　　,每一项与它前一项的差等于　　　　　,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数就叫作这个数列的　　　　　,常用字母“d”表示.即数列{an}为等差数列⇔an-an-1=d(n≥2,n∈N+). 
(2)等差中项的定义:若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫作a与b的　　　　,且A=　. 
问题2:等差数列通项公式的推导
通项公式:an=　　　　　　. 
(1)累加法:设数列{an}是等差数列,则an-an-1=d(n≥2,d为常数),于是
a2-a1=d,
a3-a2=d,
……
an-an-1=d,
将这n-1个等式相加,
得an-a1=　　　　　,即an=　　　　　　. 
这个推导方法称作累加法,是求等差数列的通项公式的常用方法.
通项公式的变形:由等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d得am=　　　　　　,所以an-am=　　　　　,即通项公式an也可表示为an=　　　　　　　. 
(2)归纳法:若一等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则据其定义可得:
a2-a1=　　　　,即:a2=a1+　　　　; 
a3-a2=　　　　,即:a3=a2+d=a1+　　　　; 
a4-a3=　　　　,即:a4=a3+d=a1+　　　　; 
……
由此归纳等差数列的通项公式可得:an=　　　　　　　. 
问题3:等差数列的性质
在等差数列{an}中:
(1)an-am=　　　　　,d=an-amn-m(m≠n); 
(2)an=an-1+an+12=an-2+an+22=…;
(3)若p+q=r+s(p,q,r,s∈N+),则　　　　　　　　; 
(4)若{kn}为等差数列,则{a·kn}为　　　　数列,此外,全部奇数项(或偶数项)按原来的挨次构成的数列也为　　　　数列. 
问题4:等差数列的单调性
等差数列{an}中,若公差d>0,则数列{an}为　　　　数列;若公差d<0,则数列{an}为　　　　数列;若公差d=0,则数列{an}为　　　　数列.  

1.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n,则它的公差为(　　).
A.2　　　　 B.3　　　　 C.-2　 　　 D.-3
2.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{an+bn}的第37项为(　　).
A.0 B.37 C.100 D.-37
3.在等差数列{an}中,若a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=　　　　. 
4.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,求an.

考查等差数列的定义
已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p、q是常数,那么这个数列是否肯定是等差数列?若是,求出首项与公差;若不是,请说明理由.

三个数成等差时的“巧设”
已知三个数成等差数列,它们的和为15,且第三个数与其次个数的平方差为56,求这三个数.

等差数列中的相同项问题
已知等差数列5,8,11,…与3,7,11,…均有100项,问有多少个数同时在这两个数列中消灭?

已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn(p,q∈R,且p,q为常数).
(1)当p,q满足什么条件时,数列{an}是等差数列?
(2)求证:对于任意的实数p,q,数列{an+1-an}是等差数列.

设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,求这三个数.

已知数列{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=5-an2,bn=2cn,求T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn的值.

1.△ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则角B等于(　　).
A.30°　　　 B.60°　　　 C.90°　　　 D.120°
2.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则ab等于(　　).
A.14 B.12 C.13 D.23
3.若一个不等边三角形的三条边长从小到大依次构成等差数列,其中最小的边长为5,则公差d的取值范围为　　　　. 
4.推断数52,2k+7(k∈N+)是否是等差数列{an}:-5,-3,-1,1,…中的项,若是,是第几项?

(2021年·辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递增数列;
p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列{ann}是递增数列;
p4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中的真命题为(　　).
A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4
考题变式(我来改编):

第3课时　等差数列的定义和通项
学问体系梳理
问题1:(1)其次项起　同一个常数　公差　(2)等差中项
a+b2
问题2:a1+(n-1)d　(1)(n-1)d　a1+(n-1)d　a1+(m-1)d　(n-m)d　am+(n-m)d　(2)d　d　d　2d　d　3d　a1+(n-1)d
问题3:(1)(n-m)d　(3)ap+aq=ar+as　(4)等差
等差
问题4:递增　递减　常
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1.C　由an=a1+(n-1)d得an=(a1-d)+nd,可知d=-2,故选C.
2.C　∵{an}、{bn}为等差数列,∴{an+bn}也为等差数列.又公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-100=0,故数列{an+bn}为常数列,∴an+bn=100.
3.42　设等差数列{an}的公差为d,由a2+a3=13,得2a1+3d=13,解得d=3,∴a4+a5+a6=3a1+12d=3×2+12×3=42.
4.解:设等差数列{an}的公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,
所以有a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2,
所以an=3+2(n-1)=2n+1.
重点难点探究
探究一:【解析】当n≥2时,取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2),则an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p(p为常数),∴{an}是等差数列,首项a1=p+q,公差为p.
【小结】本题主要考查了如何推断一个数列是否为等差数列.到目前为止,我们把握推断等差数列的方法有两种:一是利用定义,即证明an-an-1(n≥2)是一个与n无关的常数;二是可以使用本题的结论,即数列{an}的通项公式为an=pn+q,则数列{an}是首项为a1=p+q,公差为p的等差数列.
探究二:【解析】依据条件可设三个数依次为a-d,a,a+d,
则(a-d)+a+(a+d)=15,(a+d)2-a2=56,
解得a=5,d=4或-14.
故这三个数依次为1,5,9或19,5,-9.
【小结】三个数成等差数列,使用“巧”设对称项的方法,这样解起来比较便利,要合理运用方程(组)的数学思想.
探究三:【解析】第一个数列{an}的通项公式为:an=3n+2;其次个数列{bn}的通项公式为:bn=4n-1.令:an=bn,则3n+2=4n-1,∴n=3,即只有一项 a3=b3=11同时在两个数列中消灭.
[问题]结论正确吗?
[结论]不正确.缘由是设an=bn不妥当,由于一个数同时在两个数列中消灭时,该数在两个数列中的位置未必相同.
正确解法如下:
对于an=3n+2(1≤n≤100),bk=4k-1(1≤k≤100),
令an=bk,∴3n+2=4k-1,∴k=3(n+1)4,
设n+1=4t(t∈N+),∴n=4t-1,k=3t.
又由1≤n,k≤100,∴1≤t≤25,即有25个数同时在两个数列中消灭.
【小结】要留意am=bn中的m,n可以不同.
思维拓展应用
应用一:(1)欲使数列{an}是等差数列,
则an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数,
所以只有2p=0,即p=0时,数列{an}是等差数列.
(2)由于an+1-an=2pn+p+q,
所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,
所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p,为一个常数,
所以数列{an+1-an}是等差数列.
应用二:设前三项分别为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=12且a(a-d)(a+d)=48,解得a=4且d=±2.
又{an}是递增数列,∴d>0,即d=2,∴a1=2.
∴这三个数依次为2,4,6.
应用三:(1)设{an}的公差为d,由已知条件,
a1+d=1,a1+4d=-5,解得a1=3,d=-2,
所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.
(2)由于an=-2n+5,所以cn=5-an2=5-(-2n+5)2=n,所以bn=2cn=2n,所以T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn=log22+log222+log223+…+log22n=1+2+3+…+n=n(n+1)2.
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1.B　依题意得 A+C=2B,又A+B+C=180°,∴ B=60°.
2.C　2x=a+b,2b=x+2x,∴a=x2,b=32x,∴ab=13.
3.(0,5)　由已知设三条边从小到大依次为5,5+d,5+2d,∴d>0,由两边之和大于第三边,得5+5+d>5+2d,解之得d<5,∴0<d<5.
4.解:由题意知an=2n-7,由2n-7=52,得n=29.5∉N+,∴52不是该数列中的项.
又由2n-7=2k+7解得n=k+7∈N+,∴2k+7是数列{an}中的第k+7项.
全新视角拓展
D　由等差数列的性质易推断命题p1,p4正确.令数列an=2n-16,则易推断命题p2,p3为假命题.
思维导图构建
通项公式法　等差中项法