2021高中数学北师大版必修五导学案：《等差数列的定义和通项》.docx

第3课时等差数列的定义和通项1.理解等差数列、公差、等差中项的概念.2.把握等差数列的通项公式.3.会运用等差数列的通项公式解决相关数列问题.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,会接受定期放水的方式清理水库的杂鱼.假如一个水库的水位为18 m,自然放水每天水位降低2.5 m,最低降至5 m.那么从开头放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成的数列(单位:m)是我们今日要学习的一种数列.问题1:(1)等差数列的定义:假如一个数列从,每一项与它前一项的差等于,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数就叫作这个数列的,常用字母“d”表示.即数列an为等差数列an-an-1=d(n2,nN+).(2)等差中项的定义:若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫作a与b的,且A=.问题2:等差数列通项公式的推导通项公式:an=.(1)累加法:设数列an是等差数列,则an-an-1=d(n2,d为常数),于是a2-a1=d,a3-a2=d,an-an-1=d,将这n-1个等式相加,得an-a1=,即an=.这个推导方法称作累加法,是求等差数列的通项公式的常用方法.通项公式的变形:由等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d得am=,所以an-am=,即通项公式an也可表示为an=.(2)归纳法:若一等差数列an的首项是a1,公差是d,则据其定义可得:a2-a1=,即:a2=a1+;a3-a2=,即:a3=a2+d=a1+;a4-a3=,即:a4=a3+d=a1+;由此归纳等差数列的通项公式可得:an=.问题3:等差数列的性质在等差数列an中:(1)an-am=,d=an-amn-m(mn);(2)an=an-1+an+12=an-2+an+22=;(3)若p+q=r+s(p,q,r,sN+),则;(4)若kn为等差数列,则akn为数列,此外,全部奇数项(或偶数项)按原来的挨次构成的数列也为数列.问题4:等差数列的单调性等差数列an中,若公差d0,则数列an为数列;若公差d0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列ann是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中的真命题为().A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4考题变式(我来改编):第3课时等差数列的定义和通项学问体系梳理问题1:(1)其次项起同一个常数公差(2)等差中项a+b2问题2:a1+(n-1)d(1)(n-1)da1+(n-1)da1+(m-1)d(n-m)dam+(n-m)d(2)ddd2dd3da1+(n-1)d问题3:(1)(n-m)d(3)ap+aq=ar+as(4)等差等差问题4:递增递减常基础学习沟通1.C由an=a1+(n-1)d得an=(a1-d)+nd,可知d=-2,故选C.2.Can、bn为等差数列,an+bn也为等差数列.又公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-100=0,故数列an+bn为常数列,an+bn=100.3.42设等差数列an的公差为d,由a2+a3=13,得2a1+3d=13,解得d=3,a4+a5+a6=3a1+12d=32+123=42.4.解:设等差数列an的公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,所以有a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2,所以an=3+2(n-1)=2n+1.重点难点探究探究一:【解析】当n2时,取数列an中的任意相邻两项an-1与an(n2),则an-an-1=(pn+q)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)=p(p为常数),an是等差数列,首项a1=p+q,公差为p.【小结】本题主要考查了如何推断一个数列是否为等差数列.到目前为止,我们把握推断等差数列的方法有两种:一是利用定义,即证明an-an-1(n2)是一个与n无关的常数;二是可以使用本题的结论,即数列an的通项公式为an=pn+q,则数列an是首项为a1=p+q,公差为p的等差数列.探究二:【解析】依据条件可设三个数依次为a-d,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d)=15,(a+d)2-a2=56,解得a=5,d=4或-14.故这三个数依次为1,5,9或19,5,-9.【小结】三个数成等差数列,使用“巧”设对称项的方法,这样解起来比较便利,要合理运用方程(组)的数学思想.探究三:【解析】第一个数列an的通项公式为:an=3n+2;其次个数列bn的通项公式为:bn=4n-1.令:an=bn,则3n+2=4n-1,n=3,即只有一项 a3=b3=11同时在两个数列中消灭.问题结论正确吗? 结论不正确.缘由是设an=bn不妥当,由于一个数同时在两个数列中消灭时,该数在两个数列中的位置未必相同.正确解法如下:对于an=3n+2(1n100),bk=4k-1(1k100),令an=bk,3n+2=4k-1,k=3(n+1)4,设n+1=4t(tN+),n=4t-1,k=3t.又由1n,k100,1t25,即有25个数同时在两个数列中消灭.【小结】要留意am=bn中的m,n可以不同.思维拓展应用应用一:(1)欲使数列an是等差数列,则an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0时,数列an是等差数列.(2)由于an+1-an=2pn+p+q,所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p,为一个常数,所以数列an+1-an是等差数列.应用二:设前三项分别为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=12且a(a-d)(a+d)=48,解得a=4且d=2.又an是递增数列,d0,即d=2,a1=2.这三个数依次为2,4,6.应用三:(1)设an的公差为d,由已知条件,a1+d=1,a1+4d=-5,解得a1=3,d=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)由于an=-2n+5,所以cn=5-an2=5-(-2n+5)2=n,所以bn=2cn=2n,所以T=log2b1+log2b2+log2b3+log2bn=log22+log222+log223+log22n=1+2+3+n=n(n+1)2. 基础智能检测1.B依题意得 A+C=2B,又A+B+C=180, B=60.2.C2x=a+b,2b=x+2x,a=x2,b=32x,ab=13.3.(0,5)由已知设三条边从小到大依次为5,5+d,5+2d,d0,由两边之和大于第三边,得5+5+d5+2d,解之得d5,0d5.4.解:由题意知an=2n-7,由2n-7=52,得n=29.5N+,52不是该数列中的项.又由2n-7=2k+7解得n=k+7N+,2k+7是数列an中的第k+7项.全新视角拓展D由等差数列的性质易推断命题p1,p4正确.令数列an=2n-16,则易推断命题p2,p3为假命题.思维导图构建通项公式法等差中项法