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学案1 简谐运动
[学习目标定位] 1.了解什么是机械振动、简谐运动.2.知道什么是弹簧振子，理解振子的位移.3.知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义，理解周期和频率的关系.4.理解简谐运动的能量，学会分析弹簧振子中动能、势能和机械能的变化状况．
1．在弹性限度内，弹力的大小跟弹簧伸长(或缩短)的长度成正比．
2．机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能会发生相互转化，但机械能的总量保持不变．
一、机械振动
物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动．这个位置称为平衡位置．
二．简谐运动
图1
1．振子模型：如图1所示，假如小球与水平杆之间的摩擦忽视不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可以忽视不计，这样的系统称为弹簧振子．
2．假如物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置，则物体所做的运动叫做简谐运动．
3．描述简谐运动的物理量有振幅、周期和频率．
4．做简谐运动的振动系统，假如不考虑摩擦和空气阻力，振动系统的总机械能守恒．
一、简谐运动
[问题设计]
如图2所示，小球静止在O点时，弹簧没有发生形变，长度为原长．把小球拉到平衡位置的右方A点时，弹簧伸长量为OA，放开小球，观看小球的振动，并回答下列问题．
图2
(1)若水平杆与小球之间有摩擦，则小球运动一段时间会停止，若忽视摩擦，会怎样？
(2)(忽视摩擦力)弹簧最大伸长的长度OA和弹簧最大压缩的长度OA′有什么关系？
(3)(忽视摩擦力)小球从A经O到A′和小球从A′经O到A所用的时间有什么关系？
(4)小球在运动过程中所受的弹力的方向有什么特点？
(5)若以O为坐标原点，沿振动方向建立Ox轴，向右为正，则小球受到的弹力与小球位移有什么关系？(位移是相对于O点的)
答案 (1)忽视水平杆与小球之间的摩擦力，小球将始终在O点四周往复运动下去．
(2)OA＝OA′
(3)两时间相等．
(4)弹力总是指向平衡位置．
(5)弹力F与位移x的关系为F＝－kx.
[要点提炼]
1．弹簧振子是一种抱负化模型，表现在构造上是一根没有质量的弹簧一端固定，另一端连接一个小球；表现在运动上是没有(填“有”或“没有”)阻力．
2．弹簧振子的平衡位置：振子原来静止时的位置．
3．位移
(1)定义：振子在某时刻的位移是从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段．
(2)特点：运动学中位移是由初位置指向末位置，而振子的位移是以平衡位置为参考点，由平衡位置指向振子某时刻所在位置．
4．回复力
(1)回复力是依据力的作用效果命名的，它可以是弹力，也可以是其他力(包括摩擦力)，或几个力的合力，或某个力的分力．
(2)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．
5．简谐运动的动力学特征：回复力F＝－kx.
(1)k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子k为劲度系数)．其值由振动系统打算，与振幅无关．
(2)“－”号表示回复力的方向与位移的方向相反．
6．简谐运动是最简洁、最基本的振动．一切简单的振动都可看成是若干简谐运动的叠加．
[延长思考]
推断弹簧振子的平衡位置是以“弹簧处于原长位置时振子的位置”为依据吗？F＝－kx中的“x”是弹簧振子中弹簧的伸长量吗？
答案 不是．弹簧振子有多种表现形式，如图所示，有水平弹簧振子、竖直弹簧振子、光滑斜面上的弹簧振子等．水平弹簧振子的平衡位置是弹簧处于原长时振子的位置，而竖直弹簧振子处于平衡位置时，弹簧有肯定的伸长量(伸长量为x0＝)，光滑斜面上弹簧振子处于平衡位置时，弹簧也有肯定的伸长量．所以弹簧处于原长时，振子所在的位置不肯定是弹簧振子的平衡位置，当弹簧振子不发生振动时，振子所处的位置为平衡位置．
从上面的分析知，F＝－kx中的“x”是振子离开平衡位置的位移，并不总等于弹簧的伸长量．
二、振幅、周期和频率
[问题设计]
图3
如图3所示，水平桌面上的木质框架质量为M，悬挂在框架上的轻质弹簧劲度系数为k，小铁球质量为m.小铁球能静止在A点，现将小铁球从A上方1 cm处的B由静止释放，经0.5 s小铁球第1次到达A点．小铁球的运动可视为简谐运动，则：
1．小铁球的周期是多少？振幅多大？
答案 T＝2 s，A＝1 cm.
2．有人说小铁球的振幅只不过是其振动过程中位移的一个特殊值而已，你是否赞同这个观点？
答案 不赞同．振动中的位移与振幅是振动中的两个重要物理量，其不同处有很多方面：(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，而位移是振动物体相对于平衡位置的位置变化．(2)振幅是表示振动强弱的物理量，而位移是表示振动物体某时刻离开平衡位置的大小与方向．简谐运动中振幅是不变的，但位移是时刻变化的．(3)振幅是标量，位移是矢量．(4)振幅在数值上等于最大位移的大小．
[要点提炼]
1．振幅A
(1)振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，在数值上等于最大位移的确定值．
(2)物理意义：表示振动强弱的物理量，对同一振动系统，振幅越大，表示振动系统的能量越大．
2．全振动
图4
振动物体来回一次(以后完全重复原来的运动)的运动叫做一次全振动，例如水平方向运动的弹簧振子的运动：O→A→O→A′→O或A→O→A′→O→A为一次全振动．(如图4所示，其中O为平衡位置，A、A′为最大位移处)
3．周期和频率
内容
周期
频率
定义
做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间，叫做振动的周期
单位时间内完成的全振动的次数，叫做振动的频率
单位
单位为秒(s)
单位为赫兹(Hz)
物理
含义
周期是表示振动快慢的物理量
频率是表示振动快慢的物理量
打算
因素
物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质打算，与振幅无关
关系式
T＝或f＝
三、简谐运动的能量及运动中各物理量的变化
[问题设计]
图5
如图5所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动，(1)弹性势能最大的位置是________(A、O或B)，动能最大的位置是________(A、O或B)．
(2)在一个周期内的能量是如何变化的？
答案 (1)A、B O (2)从A→O的过程中，动能增大，势能减小；从O→B，动能减小，势能增大；从B→O，动能增大，势能减小；从O→A，动能减小，势能增大；在平衡位置，动能最大，势能为零；在最大位移处，动能为零，势能最大．在一个周期内，动能和势能大小做两次周期性变化．
[要点提炼]
1．弹簧振子在振动的一个周期内，动能和弹性势能完成两次周期性的变化，经过平衡位置时，动能最大，弹性势能最小，经过最大位移处时，弹性势能最大，动能最小．
2．弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能和弹性势能之和不变，即总机械能守恒(所以振幅保持不变)．即E＝Ep＋Ek＝Epm＝Ekm＝mv.
3．简谐运动中，位移、回复力、加速度三者的变化周期相同，变化趋势相同，均与速度的变化趋势相反，平衡位置是位移、回复力和加速度方向变化的转折点．
4．最大位移处是速度方向变化的转折点．
一、对简谐运动回复力的理解
例1 如图6所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是( )
图6
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力渐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
解析 回复力是依据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所供应的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力渐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．
答案 AD
二、对简谐运动的振幅、周期、频率的理解
例2 弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20 cm，振子由A运动到B的时间是2 s，如图7所示，则( )
图7
A．从O→B→O振子做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开头经过6 s，振子通过的路程是60 cm
D．从O开头经过3 s，振子处在平衡位置
解析 振子从O→B→O只完成半个全振动，A选项错误；从A→B振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2 s，所以振动周期是4 s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A＝10 cm，B选项错误；t＝6 s＝1T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C选项正确；从O开头经过3 s，振子处在位置A或B，D选项错误．
答案 C
针对训练 一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s(如图8所示)．过B点后再经过t＝0.5 s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是( )
图8
A．0.5 s B．1.0 s
C．2.0 s D．4.0 s
答案 C
解析 该题考查的是振动的对称性．依据题意，由振动的对称性可知：A、B的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5 s＝0.25 s．质点从B向右到达右方最大位移处(设为D)的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s．所以，质点从O到D的时间tOD＝T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s．所以T＝2.0 s.
三、对简谐运动能量的理解
例3 如图9所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.
图9
(1)简谐运动的能量取决于________，物体振动时________能和________能相互转化，总______守恒．
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是( )
A．振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B．振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是( )
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
解析 (1)简谐运动的能量取决于振幅，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．
(2)振子在平衡位置两侧做往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，弹性势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以总机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错误．
(3)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变．因此选项A正确，B错误．由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．
答案 (1)振幅 动 弹性势 机械能
(2)ABD (3)AC
1．(简谐运动的平衡位置和位移)如图10所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是( )
图10
A．钢球运动所能达到的最低处为平衡位置
B．钢球原来静止时的位置为平衡位置
C．钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm
D．钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm
答案 BC
解析 振子的平衡位置是指振子原来静止时的位置，故A错，B对．振子的位移为从平衡位置指向某时刻所在位置的有向线段，有方向，有正负，可推断C对，D错．
2．(对简谐运动回复力的理解)如图11所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( )
图11
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
答案 D
解析 物块A受到重力、支持力和B对它的摩擦力的作用．摩擦力供应A做简谐运动所需的回复力，其大小和方向都随时间变化，D选项正确．
3．(描述简谐运动的物理量)弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s，则( )
A．振子的振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振子的振动频率是2 Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
D．从振子通过O点时开头计时，3 s内通过的路程为24 cm
答案 CD
解析 A、B之间的距离为8 cm，则振幅为4 cm，故A错；T＝ s＝2 s，f＝0.5 Hz，B错；振子完成一次全振动通过的路程是4A，即16 cm,3 s内运动了1.5个周期，故总路程为24 cm，C、D正确．
4．(简谐运动的能量)一个做简谐运动的物体，每次势能相同时，下列说法中正确的是( )
A．有相同的动能 B．有相同的位移
C．有相同的加速度 D．有相同的速度
答案 A
解析 做简谐运动的物体机械能守恒，当势能相同时，动能肯定相同，A正确；当势能相同时，物体位移的大小相同，但方向无法确定，同理加速度及速度的方向关系也无法确定，故B、C、D错误．
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