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第六章 第4节
一、选择题
1．设A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
解析：由已知得即
答案：A
2．(2021·泉州质检)已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z＝·的最大值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：如图作可行域，
z＝·＝x＋2y，明显在B(0,1)处zmax＝2.故选D.
答案：D
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A. B.
C．[－1,6] D.
解析：作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向左上、右下平移．
由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．
由解得A(2,0)；由解得B.
∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.
∴z＝3x－y的取值范围是.
答案：A
4．(2021·辽宁六校联考)设变量x，y满足约束条件且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[8,10] B．[8,9]
C．[6,9] D．[6,10]
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，明显a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故选A.
答案：A
5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为( )
A．11 B．10
C．9 D．8.5
解析：由约束条件可画出可行域，平移参照直线2x＋3y＋1＝0可知，在可行域的顶点(3,1)处，目标函数z＝2x＋3y＋1取得最大值，zmax＝2×3＋3×1＋1＝10.
答案：B
6．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A. B．1
C. D．2
解析：利用线性规划作出可行域，再分析求解．在同始终角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示．
由图可知，当m≤1时，
函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，
故m的最大值为1.
答案：B
7．已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )
A．(1－，2) B．(0,2)
C．(－1,2) D．(0,1＋)
解析：如图，依据题意得C(1＋，2)．
作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1＋，2)时，
z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋)＋2<z<－1＋3，
∴z＝－x＋y的取值范围是(1－，2)．
答案：A
8．假如点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为( )
A. B.－1
C．2－1 D.－1
解析：如图，当P取点，Q取点(0，－1)时，|PQ|的最小值为.
答案：A
9．(2021·陕西质检一)假照实数x，y满足条件那么z＝4－x·2y的最大值为( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析：可行域为如图所示的阴影部分，A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(－2，－1)，(0，－1)，直线y＝2x＋t过点B(－2，－1)时，t取得最大值3，故z＝4－x·2y＝2－2x＋y的最大值为8.
答案：A
10．(2021·杭州模拟)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )
A．[1,3] B．[2，]
C．[2,9] D．[，9]
解析：作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A(1,9)，C(3,8)．
当y＝ax过A(1,9)时，a取最大值，此时a＝9；
当y＝ax过C(3,8)时，a取最小值，此时a＝2，
∴2≤a≤9.
答案：C
11．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的方案中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理支配生产方案，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800 元 B．2 400 元
C．2 800 元 D．3 100 元
解析：设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元，
则z＝300x＋400y.
作出可行域，如图阴影部分所示．
作直线300x＋400y＝0，向右上平移，过点A时，
z＝300x＋400y取最大值，
由得
∴A(4,4)，
∴zmax＝300×4＋400×4＝2 800.
答案：C
12．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝y－ax仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围为( )
A．(3,5) B.
C．(－1,2) D.
解析：如图所示，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y－ax＝0，要使目标函数z＝y－ax仅在点(－3,0)处取到最大值(即直线z＝y－ax仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时，相应直线在y轴上的截距才达到最大)，结合图形可知a>.
答案：B
二、填空题
13．如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．
解析：令b＝2x－y，则y＝2x－b，如图所示，作斜率为2的平行线y＝2x－b，
当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为－b，此时b＝2x－y取得最小值，为b＝2×1－1＝1.
答案：1
14．(2021·通化一模)设x，y满足约束条件若z＝的最小值为，则a的值为________．
解析：∵＝1＋，而表示过点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率，易知a>0，
∴可作出可行域如图所示，
知的最小值是，即min＝＝＝⇒a＝1.
答案：1
15．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为________．
解析：目标函数z＝x＋my可变为y＝－x＋，
∵m>1，∴－1<<0，z与同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P时，取最大值，
∴＋<2，又m>1，得1<m<1＋.
答案：(1,1＋)
16．(理科)(2021·郑州质检)若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取得最小值，则实数a的取值范围是________．
解析：画出可行域，如图，直线3x－5y＋6＝0与2x＋3y－15＝0交于点M(3,3)，由目标函数z＝ax－y，得y＝ax－z，纵截距为－z，当z最小时，－z最大．欲使纵截距－z最大，则－<a<.
答案：
16．(文科)(2021·临沂模拟)已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为________．
解析：作出如图可行域，
由z＝y－ax得y＝ax＋z可知，直线在y轴上的截距最大时，z最大，结合图象可知，在A(1,3)处取得最大值，需a>1.
答案：a>1
[备课札记]
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